PDF de programación - Proyecto MaTEX Continuidad

Proyecto MaTEX

Continuidad

Fco Javier González Ortiz

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c 2004 [email protected]
12 de junio de 2004

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Versin 1.00

MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Tabla de Contenido

1. Continuidad

1.1. ¿Qué es una función continua?
1.2. Definición de continuidad
1.3. Algebra de las funciones continuas

2. Discontinuidad

2.1. Discontinuidad Evitable
2.2. Discontinuidad de salto finito
2.3. Discontinuidad de salto infinito

3. Teoremas de Continuidad

3.1. Continuidad en un intervalo
3.2. Teorema de Bolzano
3.3. Teorema de los valores intermedios
3.4. Teorema de los Valores Extremos

4. Ejercicios de repaso

Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Sección 1: Continuidad

1. Continuidad
1.1. ¿Qué es una función continua?

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Para una primera aproximación gráfica, si piensas en el grafo de una
función, decimos que una función es continua cuando podemos recorrer el
grafo de la función si tener que realizar ningún salto. Observa las figuras de
abajo

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2

2

La función de la izquierda no presenta ningún salto y decimos que es
continua. La función de la derecha presenta un salto en el punto x = 2.
Decimos que no es continua en este punto.

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Sección 1: Continuidad

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1.2. Definición de continuidad
Definición 1.1 Sea f una función y a ∈ Dom(f) decimos que f es continua
en x = a cuando

lim
x→a

f(x) = f(a)

(1)

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan las condiciones:

1. La función está definida en x = a, es decir exista f(a).
2. Exista el límite de f en x = a.
3. Los dos valores anteriores coincidan.
Ejemplo 1.1. La función f(x) = 3 es continua en todo punto a ∈ R
Solución: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definición,
pues

lim
x→a

f(x) = f(a) = 3



Ejemplo 1.2. La función f(x) = C donde C es cualquier constante, es con-
tinua en todo punto a ∈ R
Solución: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definición,
pues

lim
x→a

f(x) = f(a) = C

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Establecemos este resultado como

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La función f(x) = C es continua en todo x ∈ R

Ejemplo 1.3. La función f(x) = x2 es continua en todo punto a ∈ R
Solución: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definición,
pues

Establecemos este resultado como

La función f(x) = xn es continua en todo a ∈ R

lim
x→a

f(x) = lim
x→a

x2 = f(a) = a2


Ejemplo 1.4. La función f(x) = xn con n ∈ N es continua en todo punto
a ∈ R
Solución: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definición,
pues

lim
x→a

f(x) = lim
x→a

xn = f(a) = an

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1.3. Algebra de las funciones continuas

Sean f y g funciones continuas en un punto a ∈ R. Entonces

Algebra de funciones continuas

Homogeneidad
Suma
Producto
Cociente

f(x)
g(x)

c · f(x) con c ∈ R es continua en a ∈ R

f(x) + g(x) es continua en a ∈ R
f(x) · g(x) es continua en a ∈ R

si g(a) 6= 0 es continua en a ∈ R

Ejemplo 1.5. Calcular el valor de k para que la función sea continua

x + k x 6= 1
x + k x 6= 1

x = 1

2

2

x = 1

Solución: Siendo

f(x) =

f(x) =

f(1) = 2
lim
x→1

x + k = 1 + k

Para que sea continua, 1 + k = 2 =⇒ k = 1 .

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Ejemplo 1.6. Calcular el valor de k para que la función sea continua

x + k x 6= 1
x + k x 6= 1

2 − k x = 1

2 − k x = 1

f(x) =

f(x) =

Solución: Siendo

f(1) = 2 − k
lim
x→1

x + k = 1 + k

Para que sea continua, 1 + k = 2 − k =⇒ k =

1
2

.

Ejercicio 1. Calcular el valor de k para que la función sea continua

( x − 1
x2 − 1 x 6= 1
x = 1

k

f(x) =

Ejercicio 2. Calcular el valor de h para que exista el límite de la función en
x = −3



f(x) =

2x + h
x2 − 9

x < −3
x3 + 2x2 − x + 6 x > −3

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Sección 2: Discontinuidad

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2. Discontinuidad
Definición 2.1 Decimos que una función es discontinua en el punto x = a
cuando no es continua en x = a.
Se pueden presentar los siguientes casos cuando una función no es continua:

f(x) 6= f(a).

Tipos de Discontinuidad
Evitable, cuando lim
x→a
En este caso existe el límite pero el valor de la función f(a) es
distinto o no esta definido.
Salto finito, cuando lim
En este caso los límites laterales son finitos pero de distinto
valor.
Salto infinito, cuando algún límite lateral
es infinito

x→a− f(x) 6= lim
x→a+

f(x).

lim
x→a− f(x),

lim
x→a+

f(x)

A continuación analizamos cada uno de los tipos de discontinuidad que

hemos clasificado en el cuadro superior

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2.1. Discontinuidad Evitable

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Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad
f(x) = L ( finito) , pero no coincide con f(a).

evitable cuando existe ∃ lim
x→a
Se tiene que los límites laterales co-
inciden
lim
x→a− f(x) = lim
x→a+
f(a) 6= L
f(x) 6= f(a)

f(x) = L

pero

∃ lim
x→a

Ejemplo 2.1. Analizar la continuidad de la función f(x) = x2 − 1
x − 1
Solución: lim
x→1
tinuidad evitable.

f(x) = 2 pero f(1) no existe, en x = 1 presenta una discon-

.

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lim
x→1

f(x) = lim
x→1

= lim
x→1

x2 − 1
x − 1
(x − 1)(x + 1)

=

x − 1

= lim
x→1

(x + 1) = 2

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIASf(x)af(a) Sección 2: Discontinuidad

2.2. Discontinuidad de salto finito

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Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad

de salto finito cuando existe los límites laterales y son distintos.

)

x→a− f(x) = l1
lim
lim
f(x) = l2
x→a+

l1 6= l2

El salto de la función viene dado
por

lim
x→a+

f(x) − lim

x→a− f(x)

x + 1

x2 − 1

x ≤ 0
0 < x

Ejemplo 2.2. Analizar la continuidad de f(x) =

Solución: En x = 0, f(0) = 1, pero los límites laterales

)

lim
x→0− x + 1 = 1
x→0− f(x) = lim
f(x) = lim
lim
x→0+
x→0+

x2 − 1 = −1

=⇒ f(0−) 6= f(0+)

son distintos, luego en x = 0 hay una discontinuidad de salto finito.

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIASf(x)a1l2l Sección 2: Discontinuidad

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2.3. Discontinuidad de salto infinito

Decimos que una función en el punto x = a presenta una discontinuidad
de salto infinito cuando algún límite lateral de f(x) en x = a es infinito. En
las figuras se muestran dos ejemplos de salto infinito en x = a.
x→a− f (x) = −∞
f (x) = +∞

x→a− f (x) = +∞
f (x) = +∞

lim

lim
x→a+

lim

lim
x→a+

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIASaa Sección 2: Discontinuidad

Ejemplo 2.3. Hallar a para que f(x) sea continua en x = 1.

x3 − 1 x ≤ 1

a x − 2 1 < x

f(x) =

Solución:
Para que sea continua en x = 1

f(1−) = 0 = f(1+) = a − 2 =⇒ a = 2

Ejemplo 2.4. Dada la función

 2x + a

ln x

f(x) =

−x2 + 2 −1 < x ≤ 1

x ≤ −1

1 < x

a) Hallar a para que f(x) sea continua en x = −1
b) ¿Es continua en x = 1?

Solución:

a) Para que sea continua en x = −1

f(−1−) = −2 + a = f(−1+) = 1 =⇒ a = 3

b) ¿Es continua en x = 1? No, pues f(1−) = 1 6= f(1+) = ln 1 = 0

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Sección 2: Discontinuidad

Ejemplo 2.5. La función f(x) = x2 − 9
x − 3
Solución: La función presenta en x = 3 una discontinuidad evitable, pues

, ¿es continua en x = 3?

f(3) =

no esta definido

0
0
x2 − 9
x − 3

lim
x→3

(x − 3)(x + 3)

x − 3

= lim
x→3

= lim
x→3

x + 3 = 6

Ejercicio 3. Hallar a para que f(x) sea una función continua en x = 0



f(x) =

eax
x + 2

x ≤ 0
x2 + 2ax + a x > 0

13




1
x

hallar el valor que debe asig-

Ejercicio 4. Dada la función f(x) = x2 sen
narse a f(0) para que sea continua en R.
Ejercicio 5. Sea

f(x) =

sen(1 + x)
x2 + ax + 2a

una función que presenta una discontinuidad evitable en x = −1. Averiguar
el valor del parámetro a y lim
x→1

f(x).

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MATEMATICAS2º BachilleratoAs = B + m vr = A + l uBdCIENCIASCIENCIAS Sección 3: Teoremas de Continuidad

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3. Teoremas de Continuidad
3.1. Continuidad en un intervalo
Definición 3.1 Decimos que f es continua en [a, b] cuando es continua en
todo punto x ∈ (a, b) y además

lim
x→a+

f(x) = f(a)

lim
x→b− f(x) = f(b)

Ejemplo 3.1. La función f(x) no es continua en el intervalo [1, 3]

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x + 1

f(x) =

x < 3
x2 − 1 3 ≤ x
Solución: En x = 3, f(3) = 8, pero el límite lateral
x→3− x + 1 = 4

lim
x→3− f(x) = lim

es distinto de f(3), luego no es continua en el intervalo [1, 3].
Ejemplo 3.2. La función f(x) no es continua en el intervalo [1, 3]

x + 1

x ≤ 3
ln(x − 3) 3 < x

f(x) =

Solución: En x = 3, los límites laterales son

lim
x→3− x + 1 = 4

lim
x→3+

ln(x − 3) = +∞

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