PDF de programación - 2. Representación de la información - Informática

N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

2. Representaci´on de la informaci´on

Ingenier´ıa en Electr´onica y Autom´atica Industrial

Inform´atica

Ra´ul Dur´an D´ıaz

Juan Ignacio P´erez Sanz

Departamento de Autom´atica
Escuela Polit´ecnica Superior

Curso acad´emico 2016–2017

Ra´ul Dur´an D´ıaz, Juan Ignacio P´erez Sanz

2. Representaci´on de la informaci´on

Rev: 1.18

N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

Contenidos

1 N´umeros y su representaci´on

2 Codificaci´on de n´umeros en binario

3 Representaci´on de n´umeros reales

4 Representaci´on de informaci´on alfanum´erica

5 Ap´endice

Ra´ul Dur´an D´ıaz, Juan Ignacio P´erez Sanz

2. Representaci´on de la informaci´on

Rev: 1.18

N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Representaci´on posicional

La representaci´on posicional se basa en el siguiente teorema:

Teorema
Sea b > 1 un entero. Cualquier entero positivo n puede escribirse
de modo ´unico como

k(cid:88)

n =

aj bj = ak bk + ak−1bk−1 + ··· + a1b + a0,

j=0

con 0 ≤ aj ≤ b − 1 para j = 0, . . . , k, y ak (cid:54)= 0.

Con ello, la representaci´on posicional de n es

n = (ak , ak−1, . . . , a0),

o, m´as sencillamente, ak ak−1 . . . a0.

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2. Representaci´on de la informaci´on

Rev: 1.18

N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Bases de las representaciones

Podemos utilizar cualquier base b, fijada, para representar los
n´umeros.

Tradicionalmente se usa la base 10, o decimal. Por razones
que ya veremos, nosotros usaremos tambi´en la base b = 16 o
hexadecimal.

Para facilitar la representaci´on dentro de un computador,
usaremos la base b = 2 o binaria.

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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Representaci´on de n´umeros racionales

En realidad, s´olo podemos representar los n´umeros racionales.
Para poder representar un n´umero real pero irracional (por
ejemplo,
n´umero racional m´as pr´oximo que podamos representar.

2), tenemos que tomar una aproximaci´on al

√

Extendemos el sistema posicional para que incluya la parte
fraccionaria:

k(cid:88)

n =

aj bj = ak bk + ··· + a1b + a0 + a−1b−1 + ··· + a(cid:96)b(cid:96),

j=(cid:96)

con (cid:96) ≤ 0 ≤ k.
Los n´umeros racionales son siempre cociente de dos n´umeros
enteros.

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Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Representaci´on de n´umeros racionales

(cid:105)

(cid:104) p

q

(cid:80)k

Supongamos el n´umero r =
conseguido que sea q = bs . Entonces podremos escribir:

, sea b nuestra base y hemos

r =

p
q

=

j=0 pj bj
bs

=

k(cid:88)

j=0

pj bj−s .

Si k > s, este n´umero podemos escribirlo as´ı:
r = (pk pk−1 ··· ps , ps−1 ··· p0) ,

en donde los coeficientes ps−1, . . . , p0 afectan a potencias
negativas de la base b.

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Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Cambio de base

Supongamos dos bases b1 y b2. Sea un n´umero real
(truncado) u, v (u es la parte entera, v la parte fraccionaria).
En la base b1, u = (pk−1pk−2 ··· p0)b1
v = (, p−1p−2 ··· p−(cid:96))b1
En la base b2, u = (qK−1qK−2 ··· q0)b2
v = (, q−1q−2 ··· q−L)b2
Queremos pasar de la representaci´on en b1 a la representaci´on
en b2.

, con L > 0.

, con (cid:96) > 0.

,

,

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Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Cambio de base

Procedimiento para obtener la parte entera
Dividir sucesivamente (u)b1 por (b2)b1. Los restos que vayan
saliendo, qi , son los d´ıgitos de (u)b2, empezando por q0 hasta
qK−1.

Procedimiento para obtener la parte fraccionaria
Multiplicar sucesivamente (v )b1 por (b2)b1. La parte entera que
salga ser´an los d´ıgitos de (v )b2, empezando por q−1 hasta q−L.
Quitar la parte entera obtenida antes de volver a multiplicar.

Observaci´on
Como es l´ogico, el procedimiento para cambiar de base la parte
entera es aplicable, en particular, a n´umeros enteros.

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Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Ejemplo: cambiar 22,375 de base 10 a base 2

Parte entera: u = 22

dividendo

cociente

resto

22
11
5
2
1

11
5
2
1
0

0
1
1
0
1

Parte fraccionaria: v =, 375

multiplicando

producto

parte entera

0,375
0,75
0,5

0,75
1,5
1,0

0
1
1

El resultado es 10110,011

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Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Cambio de base inverso

Si nos es m´as familiar la aritm´etica en b2, usamos estos
procedimientos:

Procedimiento para obtener la parte entera
Aplicamos la f´ormula
((··· ((pk−1b1 + pk−2) b1 + pk−3) b1 + ··· ) b1 + p1) + p0.

Procedimiento para obtener la parte fraccionaria
((Correr la coma hacia la derecha)), multiplicando por b(cid:96)
dividir por b(cid:96)
1.

1 y luego

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Ap´endice

Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base

Ejemplo: cambiar 10110,011 de base 2 a base 10

Parte entera: u = 10110

(((2 × 1 + 0) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 0 = 22.

Parte fraccionaria: v =, 011
(, 011)2 × 23

(011)2

23

=

23 =

(2 × 0 + 1) × 2 + 1

8

=

3
8

= 0,375.

El resultado es 22,375.

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Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos

¿Qu´e es una codificaci´on?

Sean dos conjuntos A y B y sea una funci´on f : A → B.

Definici´on
Decimos que B codifica a A por f si se verifica que f es biyectiva.

Supongamos adem´as que cada conjunto est´a dotado de su
operaci´on interna, es decir, (A, +), (B,⊕).

Definici´on
Si f (a + b) = f (a) ⊕ f (b) para a, b ∈ A cualesquiera, entonces
tenemos una representaci´on (o codificaci´on) fidedigna.

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Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos

Un poco de matem´aticas: operaci´on m´odulo

Definici´on
Sea m > 0. Definimos la operaci´on m´odulo con n´umeros enteros,
b = a (m´od m), como el resto de la divisi´on entera de a entre m.
Si b = a (m´od m), entonces a = q · m + b, para cierto entero q.

Ejemplo
Los relojes trabajan m´odulo 12 o 24 horas.

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Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos

Aritm´etica modular

Si a, b, c, m > 0 son enteros tales que b = a (m´od m), las
siguientes f´ormulas se verifican

1

2

3

(a + c) (m´od m) = (b + c) (m´od m),
(a − c) (m´od m) = (b − c) (m´od m),
(ac) (m´od m) = (bc) (m´od m).

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Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos

Representaci´on de n´umeros enteros

El n´umero de bits que usamos en un computador para los
n´umeros binarios es lo que llamamos ((ancho de palabra)), w .
Ordinariamente, 8, 16, 32, o 64 bits.
Cada uno de estos ((anchos)) recibe un nombre. Por ejemplo,
en lenguaje C:

char ⇒ 8 bits.
short int ⇒ 16 bits.
int ⇒ 32 bits.
long int ⇒ 64 bits.

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