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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
2. Representaci´on de la informaci´on
Ingenier´ıa en Electr´onica y Autom´atica Industrial
Inform´atica
Ra´ul Dur´an D´ıaz
Juan Ignacio P´erez Sanz
Departamento de Autom´atica
Escuela Polit´ecnica Superior
Curso acad´emico 2016–2017
Ra´ul Dur´an D´ıaz, Juan Ignacio P´erez Sanz
2. Representaci´on de la informaci´on
Rev: 1.18
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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Contenidos
1 N´umeros y su representaci´on
2 Codificaci´on de n´umeros en binario
3 Representaci´on de n´umeros reales
4 Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
5 Ap´endice
Ra´ul Dur´an D´ıaz, Juan Ignacio P´erez Sanz
2. Representaci´on de la informaci´on
Rev: 1.18
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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Representaci´on posicional
La representaci´on posicional se basa en el siguiente teorema:
Teorema
Sea b > 1 un entero. Cualquier entero positivo n puede escribirse
de modo ´unico como
k(cid:88)
n =
aj bj = ak bk + ak−1bk−1 + ··· + a1b + a0,
j=0
con 0 ≤ aj ≤ b − 1 para j = 0, . . . , k, y ak (cid:54)= 0.
Con ello, la representaci´on posicional de n es
n = (ak , ak−1, . . . , a0),
o, m´as sencillamente, ak ak−1 . . . a0.
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2. Representaci´on de la informaci´on
N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Bases de las representaciones
Rev: 1.18
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Podemos utilizar cualquier base b, fijada, para representar los
n´umeros.
Tradicionalmente se usa la base 10, o decimal. Por razones
que ya veremos, nosotros usaremos tambi´en la base b = 16 o
hexadecimal.
Para facilitar la representaci´on dentro de un computador,
usaremos la base b = 2 o binaria.
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2. Representaci´on de la informaci´on
Rev: 1.18
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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Representaci´on de n´umeros racionales
En realidad, s´olo podemos representar los n´umeros racionales.
Para poder representar un n´umero real pero irracional (por
ejemplo,
n´umero racional m´as pr´oximo que podamos representar.
2), tenemos que tomar una aproximaci´on al
√
Extendemos el sistema posicional para que incluya la parte
fraccionaria:
k(cid:88)
n =
aj bj = ak bk + ··· + a1b + a0 + a−1b−1 + ··· + a(cid:96)b(cid:96),
j=(cid:96)
con (cid:96) ≤ 0 ≤ k.
Los n´umeros racionales son siempre cociente de dos n´umeros
enteros.
Ra´ul Dur´an D´ıaz, Juan Ignacio P´erez Sanz
2. Representaci´on de la informaci´on
Rev: 1.18
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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Representaci´on de n´umeros racionales
(cid:105)
(cid:104) p
q
(cid:80)k
Supongamos el n´umero r =
conseguido que sea q = bs . Entonces podremos escribir:
, sea b nuestra base y hemos
r =
p
q
=
j=0 pj bj
bs
=
k(cid:88)
j=0
pj bj−s .
Si k > s, este n´umero podemos escribirlo as´ı:
r = (pk pk−1 ··· ps , ps−1 ··· p0) ,
en donde los coeficientes ps−1, . . . , p0 afectan a potencias
negativas de la base b.
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2. Representaci´on de la informaci´on
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N´umeros y su representaci´on
Codificaci´on de n´umeros en binario
Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Cambio de base
Supongamos dos bases b1 y b2. Sea un n´umero real
(truncado) u, v (u es la parte entera, v la parte fraccionaria).
En la base b1, u = (pk−1pk−2 ··· p0)b1
v = (, p−1p−2 ··· p−(cid:96))b1
En la base b2, u = (qK−1qK−2 ··· q0)b2
v = (, q−1q−2 ··· q−L)b2
Queremos pasar de la representaci´on en b1 a la representaci´on
en b2.
, con L > 0.
, con (cid:96) > 0.
,
,
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2. Representaci´on de la informaci´on
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N´umeros y su representaci´on
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Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Cambio de base
Procedimiento para obtener la parte entera
Dividir sucesivamente (u)b1 por (b2)b1. Los restos que vayan
saliendo, qi , son los d´ıgitos de (u)b2, empezando por q0 hasta
qK−1.
Procedimiento para obtener la parte fraccionaria
Multiplicar sucesivamente (v )b1 por (b2)b1. La parte entera que
salga ser´an los d´ıgitos de (v )b2, empezando por q−1 hasta q−L.
Quitar la parte entera obtenida antes de volver a multiplicar.
Observaci´on
Como es l´ogico, el procedimiento para cambiar de base la parte
entera es aplicable, en particular, a n´umeros enteros.
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Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Ejemplo: cambiar 22,375 de base 10 a base 2
Parte entera: u = 22
dividendo
cociente
resto
22
11
5
2
1
11
5
2
1
0
0
1
1
0
1
Parte fraccionaria: v =, 375
multiplicando
producto
parte entera
0,375
0,75
0,5
0,75
1,5
1,0
0
1
1
El resultado es 10110,011
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2. Representaci´on de la informaci´on
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Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Cambio de base inverso
Si nos es m´as familiar la aritm´etica en b2, usamos estos
procedimientos:
Procedimiento para obtener la parte entera
Aplicamos la f´ormula
((··· ((pk−1b1 + pk−2) b1 + pk−3) b1 + ··· ) b1 + p1) + p0.
Procedimiento para obtener la parte fraccionaria
((Correr la coma hacia la derecha)), multiplicando por b(cid:96)
dividir por b(cid:96)
1.
1 y luego
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2. Representaci´on de la informaci´on
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Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Representaci´on posicional
N´umeros racionales
Cambio de base
Ejemplo: cambiar 10110,011 de base 2 a base 10
Parte entera: u = 10110
(((2 × 1 + 0) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 + 0 = 22.
Parte fraccionaria: v =, 011
(, 011)2 × 23
(011)2
23
=
23 =
(2 × 0 + 1) × 2 + 1
8
=
3
8
= 0,375.
El resultado es 22,375.
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Representaci´on de n´umeros reales
Representaci´on de informaci´on alfanum´erica
Ap´endice
Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos
¿Qu´e es una codificaci´on?
Sean dos conjuntos A y B y sea una funci´on f : A → B.
Definici´on
Decimos que B codifica a A por f si se verifica que f es biyectiva.
Supongamos adem´as que cada conjunto est´a dotado de su
operaci´on interna, es decir, (A, +), (B,⊕).
Definici´on
Si f (a + b) = f (a) ⊕ f (b) para a, b ∈ A cualesquiera, entonces
tenemos una representaci´on (o codificaci´on) fidedigna.
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Ap´endice
Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos
Un poco de matem´aticas: operaci´on m´odulo
Definici´on
Sea m > 0. Definimos la operaci´on m´odulo con n´umeros enteros,
b = a (m´od m), como el resto de la divisi´on entera de a entre m.
Si b = a (m´od m), entonces a = q · m + b, para cierto entero q.
Ejemplo
Los relojes trabajan m´odulo 12 o 24 horas.
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Definiciones b´asicas
Representaci´on de enteros
Formatos
Aritm´etica modular
Si a, b, c, m > 0 son enteros tales que b = a (m´od m), las
siguientes f´ormulas se verifican
1
2
3
(a + c) (m´od m) = (b + c) (m´od m),
(a − c) (m´od m) = (b − c) (m´od m),
(ac) (m´od m) = (bc) (m´od m).
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Representaci´on de enteros
Formatos
Representaci´on de n´umeros enteros
El n´umero de bits que usamos en un computador para los
n´umeros binarios es lo que llamamos ((ancho de palabra)), w .
Ordinariamente, 8, 16, 32, o 64 bits.
Cada uno de estos ((anchos)) recibe un nombre. Por ejemplo,
en lenguaje C:
char ⇒ 8 bits.
short int ⇒ 16 bits.
int ⇒ 32 bits.
long int ⇒ 64 bits.
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N´um
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