PDF de programación - Tutorial de Matlab

Tutorial de Matlab.

Antonio Souto Iglesias.

Presentamos un tutorial de Matlab porque en C´alculo Num´erico es importante poder
realizar r´apidamente y con exactitud los c´alculos elementales que son necesarios para
los diferentes ejercicios. Matlab es una herramienta potent´ısima, casi est´andar para
c´alculos en muchas ramas de la Ingenier´ıa, y de uso razonablemente simple. Haremos
una descripci´on de los elementos b´asicos de Matlab y remitimos al estudiante interesado
a cualquier edici´on del manual de referencia del programa[2] para un mejor conocimiento
del mismo. Tambi´en es interesante el libro sobre Matlab de Higham y Higham[1] y
una buena referencia en castellano con ejemplos procedentes de problemas en C´alculo
Num´erico es el de Quintela[3].

1 Conceptos b´asicos.

Para arrancar Matlab, se procede como con cuaquier programa Windows, o sea, Inicio,
Programas, Matlab o Student Matlab caso de que utilicemos la versi´on educacional. Una
vez arrancado aparece el cursor con el s´ımbolo (>>) o (EDU >>), indicando que puedes
introducir ´ordenes. De hecho, en este tutorial, cuando veas este s´ımbolo, es que tienes
que introducir por teclado la orden que aparece escrita a la derecha del mismo.

La utilizaci´on m´as b´asica de Matlab es como calculadora 1. As´ı por ejemplo, puedes
calcular cos(5) · 27.3, para lo cual debes introducir2:

>>cos(5)*2^7.3
ans =

44.7013

Matlab mantiene en memoria el ´ultimo resultado. Caso de que ese c´alculo no se asigne a
ninguna variable, lo hace a una variable por defecto de nombre ans. Si quieres referirte
a ese resultado, hazlo a trav´es de la variable ans, y si no asignas ese nuevo c´alculo a
ninguna variable, volver´a a ser asignado a ans.

>>log(ans)
ans =

3.8000

En este momento os podr´ıais preguntar si este ha sido un logaritmo decimal o neperiano
(natural). Para saberlo, deb´eis pedir ayuda sobre el comando log utilizando:

>>help log

LOG

Natural logarithm.

LOG(X) is the natural logarithm of the elements of X.
Complex results are produced if X is not positive.

See also LOG2, LOG10, EXP, LOGM.

1Funcionando de este modo, es similar a una calculadora programable, aunque bastante m´as vers´atil.
2Los argumentos de las funciones trigonom´etricas siempre est´an en radianes.

2

Por defecto, los resultados aparecen con 4 cifras decimales. Si necesitares m´as precisi´on
en los resultados, puedes utilizar la orden format long y repite los c´alculos:

>>format long

Para recuperar una orden y ejecutarla otra vez o modificarla se usan la flechas arriba y
abajo del cursor ⇑, ⇓. Presionemos ⇑ hasta recuperar la orden:

>>cos(5)*2^7.3
ans =

44.70132670851334

Ejercicio 1.1 Realizar la siguiente operaci´on: 2.72.1 + log10 108.2.

Ejercicio 1.2 Realizar la siguiente operaci´on: e2.72.1+log10 108.2.

Caso de que necesit´eis referiros a determinados c´alculos pod´eis asignarlos a variables y
as´ı recuperarlos despu´es mediante esas variables. Por ejemplo, pod´eis con ⇑ recuperar la
orden cos(5) · 27.3 y asignar su valor a la variable x. Luego pod´eis utilizarla para otros
c´alculos.

>>x=cos(5)*2^7.3
x =

44.70132670851334

>>y=log(x)
y =

3.80000318145901

Ejercicio 1.3 Realizar la siguiente operaci´on: 2.72.1+log10 108.2 y asignarla a la variable
x.

Ejercicio 1.4 Realizar la siguiente operaci´on: e2.72.1+log10 108.2 y asignarla a la variable
t.

Como es muy f´acil recuperar ´ordenes previas podemos utilizar esta idea para simular los
t´erminos de una sucesi´on recurrente. Por ejemplo xn+1 = cos(xn)

>>x=0.2
x =

0.20000000000000

>>x=cos(x)
x =

0.98006657784124

>>x=cos(x)
x =

0.55696725280964

>>x=cos(x)
x =

3

0.84886216565827

>>x=cos(x)
x =

0.66083755111662

>>x=cos(x)
x =

0.78947843776687

>>x=cos(x)
x =

0.70421571334199

Ejercicio 1.5 Repetir la operaci´on anterior hasta que se estabilice el cuarto decimal de
x de un paso al siguiente.

Ejercicio 1.6 Cambiar el formato para que otra vez se vean s´olo cuatro decimales.
Ejercicio 1.7 Empezando por x = 100 repetir la operaci´on x = x − (x2 − 81)/2/x hasta
que se converja en el cuarto decimal. ¿Qu´e relaci´on hay entre el ´ultimo x y 81?

Ejercicio 1.8 Definir A como vuestro DNI. Empezando por x = 100 repetir la operaci´on
x = x − (x2 − A)/2/x hasta que se converja en el cuarto decimal. ¿A qu´e ha convergido
la sucesi´on?

A veces es bueno apagar y encender la ”calculadora”para borrar todo y empezar de
nuevo. Esto se hace con la orden clear. Hay que tener cuidado al utilizarla pues no
solicita confirmaci´on, y sus resultados son definitivos.

>>clear
>>x
??? Undefined function or variable ’x’.

Ejercicio 1.9 Preguntar el valor de A igual que acabamos de preguntar x. ¿Tiene sen-
tido el resultado?

2 Manejo de vectores.

Para crear y almacenar en memoria un vector v que tenga como componentes v1 = 0,
v2 = 2, v3 = 4, v4 = 6 y v5 = 8 podemos hacerlo componente a componente:

>>v(1)=0
v =

0

>>v(2)=2
v =

0

2

>>v(3)=4

4

v =

0

>>v(4)=6
v =

0

>>v(5)=8
v =

0

2

2

2

4

4

4

6

6

8

O, para simplificar la creaci´on de vectores, se puede definir un vector especificando su
primer elemento, un incremento, y el ´ultimo elemento. Matlab rellenar´a ese vector. As´ı
podemos definir igualmente el vector v como una secuencia que empieza en 0, avanza de
2 en 2 y que termina en el 8:

>> v = [0:2:8]
v =

>> v
v =

0

0

2

2

4

4

6

6

8

8

Si ponemos ; al final de una l´ınea de comandos, cuando pulsemos la tecla Enter para
ejecutarla, se ejecutar´a pero no mostrar´a el resultado. Esto es muy ´util algunas veces:

>> v = [0:2:8];
>> v
v =

0

2

4

6

8

Podemos construir el vector v editando directamente entre los corchetes las componentes
del vector v:

>>v = [0 2 4 6 8];
>> v
v =

0

2

4

6

8

Puedes acceder f´acilmente al contenido de una posici´on del vector, por ejemplo la primera.

>> v(1)
ans =

0

O modificarla:

>> v(1)=-3;
>> v
v =

-3

2

4

6

8

5

O hacer operaciones entre componentes, v2 · v3
5:

>> v(2)*v(5)^3
ans =

1024

Ejercicio 2.1 Calcular la suma de los elementos de v, elemento a elemento.

Para trasponer un vector una matriz se usa el ap´ostrofo que es el acento que est´a en la
misma tecla que el signo de interrogaci´on ”?”.

>> v’
ans =

-3
2
4
6
8

Como hemos comentado, para recuperar una orden y ejecutarla otra vez o modificarla se
usan la flechas arriba y abajo del cursor ⇑, ⇓. Presionemos ⇑ hasta recuperar la orden:

>> v(1)=-3;

Modifiqu´emosla para dejar el valor original

>> v(1)=0;

Al definir ese vector v de 5 componentes, en realidad lo que definimos es una matriz fila
de cinco columnas, o sea un matriz de 1x5. Esto lo podemos comprobar si preguntamos
el tama˜no de v utilizando la sentencia size:

>>size(v)
ans =

1

5

que nos indica que v tiene una fila y 5 columnas.

Ejercicio 2.2 Definir un nuevo vector que sea el traspuesto de v y aplicar a ese vector
el comando size. ¿Es coherente el resultado?

3 Introducci´on al tratamiento de matrices.

Haremos una introducci´on a la definici´on y manipulaci´on de matrices. Se supone que
has seguido la secci´on anterior y dispones de los conocimientos b´asicos sobre la definici´on
y manipulaci´on de vectores usando Matlab. Definir una matriz es muy similar a la
definici´on de un vector. Para definir una matriz, puedes hacerlo dando sus filas separadas
por un punto y coma (tener cuidado de poner los espacios en blanco!):

6

>> A = [ 1 2 3; 3 4 5; 6 7 8]
A =

1
3
6

2
4
7

3
5
8

o definirla directamente fila a fila3:

>> A = [ 1 2 3
3 4 5
6 7 8]

A =

1
3
6

2
4
7

3
5
8

Se puede modificar alguno de los elementos de la matriz A, accediendo a cualquiera de
sus posiciones, por ejemplo:

>> A(2,2)=-9
A =

1
3
6

2
-9
7

3
5
8

Dejemos su valor original:

>> A(2,2)=4;

De igual modo, puedes considerarla como una fila de vectores columna:

>> B = [ [1 2 3]’ [2 4 7]’ [3 5 8]’]
B =

1
2
3

2
4
7

3
5
8

(Otra vez, es importante colocar los espacios en blanco.)

Ejercicio 3.1 Sumar los elementos diagonales de la matriz A, refiri´endonos a ellos,
elemento a elemento.

Podemos sumar o restar matrices para tener otras matrices.

>>C=A+B
C =

2
5
9

4
8
14

6
10
16

3Esto es lo que yo suelo hacer.

7

Ejercicio 3.2 Definir la matriz D = 2B − A.

Tambi´en podemos multiplicarlas.

>>C=A*B
C =

14
26
44

31
57
96

37
69
117

Ejercicio 3.3 Definir la matriz D = B − A · B.

Ejercicio 3.4 Definir la matriz C = AAt.

Podemos definir algunos tipos especiales de matrices, como por ejemplo una matriz de
3x3 que tenga todos sus elementos nulos.

>>I=zeros(3)
I =

0
0
0

0
0
0

0
0
0

Podemos modificar sus elementos diagonales para tener la matriz identidad, para lo cual
debes usar ⇑ para modificar la definici´on del primer elemento, cambiando los ´ındices para
definir los dem´as.

>>I(1,1)=1;
>>I(2,2)=1;
>>I(3,3)=1
I =

1
0
0

0
1
0

0
0
1

Ejercicio 3.5 Definir la matriz D = B − A · B como D = B(I − A).

Otra forma de definir la matriz identidad es a trav´es de la funci´on diag, que recibe un
vector que convierte en diagonal de una matriz cuyos otros elementos son nulos.

>>J=diag([1 1 1])
J =

1
0
0

0
1
0

0
0
1

Ejercicio 3.6 Definir una matriz D diagonal cuyos elementos sean −2, 1, 0.2 y −0.7.

Ejercicio 3.7 Pedir ayuda de la funci´on eye, y definir la matriz diagonal de 10x10.

8

3.1 Definici´on de submatrices.

Se pueden definir “subvectores” o submatrices muy facilmente. Si definimos v como:

>> v = [0:2:8]
v =

0

2

4

6

8

Podemos definir un vector e que sean las tres primeras componentes del vector v como:

>> e=v(1:1:3)
e =

0

2

4

Esta orden es equivalente a la siguiente, pues cuando el incremento es la unidad:

>> e=v(1:3)
e =

0

2

4

Como comentamos al principio, la notaci´on usada por Matlab sigue en lo posible la
notaci´on est´andar de ´Algebra Lineal que ya conoc´eis. Es muy sencillo multiplicar matrices
y vectores, teniendo cuidado de que las dimensiones sean las adecuadas.

>> A*v(1:3)
??? Error using == *
Inner matrix dimensions must agree.
>> A*v(1:3)’
ans =

16
28
46

Acost´umbrate a ver ese mensaje de error! Una vez que empiezas a trabajar con vectores
y matrices,