PDF de programación - Programación: Primer paso de la reducción de una matriz con pivotes diagonales

Programaci´on:

Primer paso de la reducci´on de una matriz

con pivotes diagonales

Autores: Rom´an Higuera Garc´ıa, Egor Maximenko.

Objetivos. Programar el primer paso de la eliminaci´on de Gauss sin pivoteo (esto es, con
pivotes diagonales).

Requisitos. Operaciones elementales, programaci´on de funciones y ciclos For.

Operaciones elementales
Sea A ∈ Mm×n(R), sean p, q ∈ {1, . . . , m} con p (cid:54)= q, µ ∈ R.
La notaci´on Rq + = µRp significa:

“A la q-´esima fila de la matriz A, sumar

”.

1. Operaci´on elemental Rq + = µRp para una matriz de tama˜no 4 × 5.
Aplicar las operaciones elementales indicadas a la siguiente matriz:



2

6

8

5

2

4

− 4 −1

1 −3

6
7 −1

1

7

7

4

4

5

3

−−−−−−−−−−→

R2 += −2R1
R3 += −3R1
R4 += 2R1

5

1 −3

6

13

2

2

 .

2. Operaci´on elemental Rq + = µRp para una matriz con entradas simb´olicas.
Consideremos una matriz A ∈ M4×3(R) con entradas simb´olicas, apliquemos a ella la
operaci´on R4 + = µR1:



A1,1 A1,2 A1,3

A2,1 A2,2 A2,3

A3,1 A3,2 A3,3

A4,1 A4,2 A4,3

−−−−−−−−−→

R4 += µR1

 .

A1,1 A1,2 A1,3

A2,1 A2,2 A2,3

A3,1 A3,2 A3,3
A(cid:48)
4,1 A(cid:48)
4,2 A(cid:48)

4,3

Escriba las f´ormulas para obtener las nuevas entradas de la cuarta fila:

4,1 = (cid:124)

A(cid:48)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

,

4,2 = (cid:124)

A(cid:48)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

,

4,3 = (cid:124)

A(cid:48)

?

?

(cid:123)(cid:122)

?

(cid:125)

.

Programaci´on: primer paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 1 de 4









3. Operaci´on elemental Rq + = µRp para matrices de tama˜no m × n.
Consideremos una matriz A ∈ Mm×n(R) dada como A = [Ai,j]m,n
i,j=1, aplicamos a ella la
operaci´on elemental Rq + = µRp. Entonces las nuevas entradas de la q-´esima fila de la
matriz obtenida se calculan por la siguientes f´ormulas:

A(cid:48)
q,1 =
A(cid:48)
q,2 =
...

A(cid:48)
q,n =

4. Ejemplo. Est´a dada una matriz 4× 4. Usando su entrada (1, 1) como pivote haga tres
operaciones elementales que eliminen las entradas (2, 1), (3, 1) y (4, 1):



3 −2

12

2

9

2

8

4

5

8

6

5

4

13

10

9

−−−−−−−−−−−−→

R2 +=
R3 +=
R4 +=

R1
R1
R1

3 −2

5

4

0

5. N´umeros necesarios para eliminar entradas.
Consideremos ahora una matriz con entradas s´ımb´olicas de tama˜no 4 × 4. Apliquemos a
ella las operaciones elementales de la siguiente forma:

A1,1 A1,2 A1,3 A1,4

A2,1 A2,2 A2,3 A2,4

A3,1 A3,2 A3,3 A3,4

A4,1 A4,2 A4,3 A4,4

A1,1 A1,2 A1,3 A1,4
2,3 A(cid:48)
A(cid:48)
2,1 A(cid:48)
A(cid:48)
3,1 A(cid:48)
3,3 A(cid:48)
4,3 A(cid:48)
A(cid:48)
4,1 A(cid:48)

2,2 A(cid:48)
3,2 A(cid:48)
4,2 A(cid:48)

2,4

4,4

3,4

Queremos que las entradas A(cid:48)

2,1, hola(cid:48)

sean iguales a cero, entonces:



R2 += µ2R1
R3 += µ3R1
R4 += µ4R1

−−−−−−−−−−→
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

y hola(cid:48)

?

?





 .

 .





2,1 = A2,1 + µ2A1,1

0 = A(cid:48)

0 = A(cid:48)

(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

3,1 = A2,1

+µ3A1,1

?

0 = A(cid:48)

4,1 = A2,1 + µ2A1,1

⇒
⇒
⇒

µ2 = −

A2,1
A1,1

µ3 = −

µ4 =

A2,1
A1,1

A2,1
A1,1

Note que los n´umeros µ2, µ3, µ4, µ5 no dependen entre ellos de ninguna forma.

Programaci´on: primer paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 2 de 4

6. C´alculo del n´umero anulador para matrices en general.
Sea A ∈ Mm×n(R). Utilizamos como pivote la entrada A1,1 para anular las entradas
A2,1, A3,1, . . . , Am,1. Para ello necesitamos hacer m − 1 operaciones elementales, tales ope-
raciones elementales ser´an, para q = 2, 3, . . . , m:

Rq + = µRp

d´onde

µ =

A1,1

7. Comandos de Wolfram Mathematica para hacer operaciones elementales.
Se recomienda ejecutar los siguientes comandos uno por uno para aprender los comandos
de Wolfram Mathematica que pueden ser ´utiles para programar la eliminaci´on de Gauss.

A = {{2, 5, 1, -3, 6}, {6, 2, 4, 7, -1}, {8, 4, 5, 1, 7}}

MatrixForm[A]
B = A (∗ crear una copia ∗)

B[[1]]

B[[2]]

B[[1, 1]]

B[[2, 1]]

Usemos la entrada B[[1, 1]] como pivote para anular la entrada B[[3, 1]]:

mu = B[[3, 1]] / B[[1, 1]]

B[[3]] -= \mu * B[[1]]

MatrixForm[B]

(∗ para ver el resultado ∗)

Escriba la operaci´on elemental que use B[[1, 1]] como pivote y anule B[[2, 1]]:

mu =

B[[ ]] -= mu * B[[ ]]

Programaci´on: primer paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 3 de 4

8. Algoritmo ReduceFirstStep.
Vamos a denotar por i al ´ındice de la fila que estamos modificando.

Algoritmo ReduceFirstStep

Variables locales: B, m, n, k, i, j, mu;

m := n´umero de filas de A;

n := n´umero de columnas de A;

B := Una copia de A;

// Comentario: usamos B[[1, 1]] como pivote

// y eliminamos B[[i, 1]] para i de

a

;

Para i de

mu = B[[

Para j de

a

,

hacer:

]]/B[[

,

]];

a

hacer:

B[[i, j]] =

;

Salida : B

9. Programar el primer paso de la eliminaci´on de Gauss (2 %). Escriba una
funci´on ReduceFirstStep de un argumento matricial que haga el primer paso de la eli-
minaci´on de Gauss.

Entrada: una matriz rectangular A de tama˜no m × n, con A1,1 (cid:54)= 0.

Salida: la matriz B que se obtiene de la matriz A al aplicar operaciones elementales
que eliminen las entradas A2,1, . . . , Am,1.

10. Comprobaci´on. Aplique la funci´on ReduceFirstStep a la siguiente matriz:

 3

3
1

A =

 .

2 −1

6
12 11 −4 32 24
7
2

1 −2
0 −3

8

8
4

Programaci´on: primer paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 4 de 4