PDF de programación - Programación: Segundo paso del método de Gauss

El segundo paso del m´etodo de Gauss

Autores de los ejercicios: Rom´an Higuera Garc´ıa, Egor Maximenko.

Objetivos. Programar el segundo paso de la eliminaci´on de Gauss sin pivoteo (esto es,
con pivotes diagonales).

Requisitos. Operaciones elementales, programaci´on de funciones y ciclos For.

1. Ejemplo. Est´a dada una matriz 4 × 4, con la caracter´ıstica de que las entradas de la
primer columna son iguales a cero salvo la entrada (1, 1). Usando su entrada (2, 2) como
pivote haga dos operaciones elementales que eliminen las entradas (3, 2) y (4, 2):



7

0

0

0

4 −9

2 −3

6 −5
1
2

7

6

5

2

1
2

−−−−−−−−−−−−→

R3 +=
R4 +=

R2
R2

 .

7

0

0

0

4 −9

2 −3

6

5

0

0

2. Coeficientes de las operaciones elementales.
Consideremos una matriz B, de tama˜no 5 × 4 con entradas s´ımbolicas. Pidamos a B la
caracter´ıstica de que las entradas de su primer columna sean iguales a cero salvo la entrada
B1,1. Luego apliquemos las operaciones elementales indicadas:

B =

B1,1 B1,2 B1,3 B1,4

0

0

0

0

B2,2 B2,3 B2,4

B3,2 B3,3 B3,4

B4,2 B4,3 B4,4

B5,2 B5,3 B5,4

−−−−−−−−−−→

R3 −= µ3R2
R4 −= µ4R2
R5 −= µ5R2

B1,1 B1,2 B1,3 B1,4

0

0

0

0

B2,2 B2,3 B2,4
3,3 B(cid:48)
B(cid:48)
3,2 B(cid:48)
B(cid:48)
4,2 B(cid:48)
4,3 B(cid:48)
5,3 B(cid:48)
B(cid:48)
5,2 B(cid:48)

3,4

4,4

5,4

Queremos que las entradas B(cid:48)

sean iguales a cero, entonces:

 .











3,2,(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

y(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

?

?

3,2 = B3,2 − µ3B2,2

0 = B(cid:48)

0 = B(cid:48)

4,2 = B4,2(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

−µ4B2,2

?

0 = B(cid:48)

5,2 = B5,2 − µ2A1,1

⇒
⇒
⇒

µ3 =

µ4 =

B3,2
B2,2

A2,1
B2,2

µ5 =

A2,1
B2,2

Note que los n´umeros µ3, µ4, µ5 no dependen entre ellos de ninguna forma.

Programaci´on: segundo paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 1 de 3

3. Coeficientes de las operaciones elementales con las cuales se eliminan las
entradas por debajo de (2, 2), en general.
Sea B ∈ Mm×n(R) dada como B = [Bi,j]m,n
i,j=1. (No es escencial pedir a B que las entradas de
su primer columna salvo la entrada B1,1 sean iguales a cero, sin embargo pensaremos que
es as´ı). Utilizamos como pivote la entrada B2,2 para anular las entradas B3,2, B4,2, . . . , Bm,2.
Para ello necesitamos hacer m − 2 operaciones elementales, tales operaciones elementales
ser´an, para q = 3, 4, . . . , m:

Rq − = µRp,

donde

µ =

.

B2,2

Programaci´on del segundo paso de la eliminaci´on de Gauss

4. Algoritmo ReduceSecondStep. Vamos a denotar por i al ´ındice de la fila que
estamos modificando.

Algoritmo ReduceSecondStep

Entrada: Una matriz B.

Variables locales: C, m, n, k, i, j, mu;

m := n´umero de filas de B;

n := n´umero de columnas de B;

C := Una copia de B;

// Comentario: usamos C[[2, 2]] como pivote

// y eliminamos C[[i, 2]] para i de

a

;

Para i de

mu := C[[

Para j de

a

,

:

]]/C[[

,

]];

a

:

C[[i, j]] :=

;

Salida: C.

5. Programar el segundo paso de la eliminaci´on de Gauss (2 %). Escriba una
funci´on ReduceSecondStep de un argumento matricial que haga el segundo paso de la
eliminaci´on de Gauss.

Entrada: una matriz rectangular B de tama˜no m × n, con B2,2 (cid:54)= 0.

Salida: la matriz C que se obtiene de la matriz B al aplicar operaciones elementales
que eliminen las entradas B3,2, . . . , Bm,2.

Programaci´on: segundo paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 2 de 3

Programaci´on de una operaci´on elemental
(recordatorio y optimizaci´on)

6. Trabajar con un corte de un rengl´on. Para recordar la sintaxis de Wolfram
Mathematica ejecute los siguientes comandos:

B = RandomReal[{-1, 1}, {5, 5}]

MatrixForm[B]

B[[2, 3 ;; 5]]

7. Pensemos en la operaci´on elemental

B1,1 B1,2 B1,3 B1,4

. . . B1,n

0

0

0

B2,2 B2,3 B2,4

. . . B2,n

B3,2 B3,3 B3,4

. . . B3,n

B4,2 B4,3 B4,4

. . . B4,n

B =



 R4 −= µR2

−−−−−→



B1,1 B1,2 B1,3 B1,4

. . . B1,n

0

0

0

B2,2 B2,3 B2,4

. . . B2,n

B3,2 B3,3 B3,4
4,3 B(cid:48)
4,2 B(cid:48)
B(cid:48)
4,4
B5,2 B5,3 B5,4

. . . B3,n
. . . B(cid:48)
4,n
. . . B5,n

 ,

0

. . . B5,n

B5,2 B5,3 B5,4

0
donde el coeficiente µ est´a elegido de tal manera que B(cid:48)
Uno puede programar esta operaci´on elemental con un ciclo, pero Wolfram Mathematica
permite trabajar con renglones enteros o con partes de renglones.

4,2 = 0.

Observaciones:

La operaci´on R4 − = µR2 se puede hacer con el comando

B[[4, All]] -= mu * B[[2, All]].

La entrada B4,1 no se modifica y sigue siendo igual a cero.
El coeficiente µ est´a elegido de tal manera que B(cid:48)
No es necesario calcular B(cid:48)

4,2; es suficiente poner B4,2 = 0.

4,2 = 0.

Las entradas que se deben calcular est´an en el cuarto rengl´on y en las columnas de
3 a n.

Tomando en cuenta lo anterior, se puede sustituir el ciclo sobre j por dos comandos:

B[[4, 2]] = 0;

B[[4, 3 ;; n]] -= mu * B[[2, 3 ;; n]];

Programaci´on: segundo paso de la reducci´on con pivotes diagonales, p´agina 3 de 3