PDF de programación - Parte I. Tutorial Básico de Matlab

MODELADO, SIMULACION Y CONTROL

DE SISTEMAS DINAMICOS



P.F.PULESTON y F.VALENCIAGA



Nota: Este apunte tiene por objetivo principal introducir al modelado,
simulación y control de sistemas dinámicos empleando Matlab. Gran
parte del material aquí presentado esta basado en los Control Tutorial
for Matlab de la Universidad de Michigan, Demos y Manuales de
Matlab. Abundante información adicional y soluciones a muchos otros
problemas vinculados al control de sistemas, procesamiento de señal y
calculo matricial en general, puede encontrarse en dicha bibliografía.



Parte I. Tutorial Básico de Matlab



Vectores

Matrices

Polinomios

Funciones

Archivos .m

Archivos .mat

Graficación

Impresión

Ayuda



Importante: Matlab es un programa de cálculo cuyos
elementos básicos son arreglos. Sus variables son
definidas en su forma más general como matrices.


VECTORES

Para crear un vector fila se utilizan corchetes dentro de los cuales los elementos
deben estar separados por espacios o comas:

a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7]

Matlab retorna:

a =
1 2 3 4 5 6 9 8 7

Nota de utilidad: si se desea que la variable creada no se muestre en pantalla, se
debe ejecutar el comando con un ; final.

a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7];

Para crear un vector con elementos entre n1 y n2, equiespaciados en d, el formato
es V=[n1:d:n2]. Por ejemplo, para generar un vector de tiempo:

t = [0:2:20]
t =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Las operaciones entre escalares y vectores son muy sencillas, por ejemplo:

b = a + 2
b =
3 4 5 6 7 8 11 10 9

Cuando se realizan operaciones entre vectores deben respetarse las dimensiones:

c = a + b
c =
4 6 8 10 12 14 20 18 16


MATRICES

La creación de matrices en Matlab es similar a la de vectores (de hecho estos son
un caso particular de matrices), sólo que cada fila de elementos debe separarse con
un ; o return:


B = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

B = [ 1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12]

B =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12


Existen diversas formas de manipular matrices. Es posible tomar determinados
componentes de la misma (sean elementos, filas o columnas) de la siguiente
manera:

Elemento 1,4:
b14=B(1,4)

b14 =
4


Fila 2:

fb2=B(2,:)

fb2 =
5 6 7 8


Fragmento del vector fb2:

ffb2=fb2(2:4)
fb2=B(2,:)ffb2 =
6 7 8


Se pueden obtener los valores máximos, mínimos, medios u ordenar los elementos
de una matriz (min, median, mean, sort). Ejemplo:

max(fb2)
ans = 8



Mfb2=max(fb2)
Mfb2 = 8



[Mfb2,iMfb2]=max
(fb2)
Mfb2 = 8
iMfb2 = 4

Nótese que al no haberse indicado explícitamente en que variable guardar el
resultado, este es asignado a la variable auxiliar ans (esto es general para todas
las operaciones).

Obtención de la matriz traspuesta de B:


C = B’
C =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12


Es importante destacar que la multiplicación puede realizarse entre matrices o
elemento a elemento. Ejemplo de multiplicación entre matrices:

D = B * C
D =
30 70 110
70 174 278
110 278 446



D = C * B
D =
107 122 137 152
122 140 158 176
137 158 179 200
152 176 200 224


Para realizar multiplicación (u otras operaciones en general) elemento a elemento
(de matrices de igual dimensión), el operador de ser precedido por un punto:


E = [1 2;3 4]
F = [2 3;4 5]
G = E .* F

E =
1 2
3 4

F =
2 3
4 5

G =
2 6
12 20

Un ejemplo claro de cómo operar con matrices o con sus elementos es elevar una
matriz cuadrada al cubo:

E^3
ans =
37 54
81 118


o cada uno de sus elementos al cubo:

E.^3



ans =
1 8
27 64


También se puede obtener en forma sencilla la inversa de una matriz:


X = inv(E)
X =
2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000

y sus autovectores y autovalores:


[eiVe,eiva]=eig(E)

eiVe =
-0.8246 -0.4160
0.5658 -0.9094

eiva =
-0.3723 0
0 5.3723


Existe una función que permite obtener el polinomio característico de una matriz:

p = poly(E)
p =
1.0000 -5.0000 -2.0000


Y pueden calcularse las raíces del polinomio, verificando que coinciden con los
autovalores de la matriz:

roots(p)

ans =
5.3723
0.3723



POLINOMIOS

En Matlab los polinomios son representados por vectores que tienen por elementos
a los coeficientes del polinomio en orden descendente. Por ejemplo:

4

s

+
3

3

s

15

2

s

2

+

s

9



en Matlab sería:


x = [1 3 -15 -2 9]
x =
1 3 -15 -2 9

Si alguna potencia no aparece en el polinomio deseado:

4 +s

1



debe ser representado con ceros en los coeficientes correspondientes:

y = [1 0 0 0 1]

El polinomio puede ser evaluado en un dado punto a través de la función
polyval. Por ejemplo, el polinomio anterior en s=2 es evaluado por:


z = polyval([1 0 0 0 1],2)
z =
17

Si en lugar de indicar un punto se desea evaluar un conjunto de puntos, basta con
indicarlo con un vector cuyos elementos sean los puntos deseados.

La forma de obtención de raíces del polinomio ya fue indicada previamente. A
modo de ejemplo:

4

s

+
3

3

s

15

2

s

2

+

s

9



roots([1 3 -15 -2 9])



-

-

-

-
ans =
5.5745
2.5836
0.7951
0.7860

Dos polinomios pueden ser multiplicados a través de la convolución de sus
coeficientes:

x = [1 2];
y = [1 4 8];
z = conv(x,y)

z =
1 6 16 16

Con la función deconv pueden dividirse dos polinomios, obteniéndose el resultado
y el resto:

[xx, R] = deconv(z,y)
xx =
1 2
R =
0 0 0 0



Finalmente, cabe destacar dos funciones de gran utilidad:

- polyfit(X,Y,N): dado un conjunto de puntos determinados por los vectores X, Y
plolyfit da como resultado los coeficientes del polinomio aproximante,
basandose en mínimos cuadrados.

- interp(X,R): remuestrea la secuencia en el vector X a una tasa de muestreo R

veces mayor, empleando interpolación pasabajo.



FUNCIONES

Funciones Estándar:

Para facilitar las operaciones, Matlab incluye muchas funciones estándar, tales
como: sin, cos, log, exp, sqrt. Las mismas están generadas sobre la base de un
bloque de código que realiza una tarea específica. Comúnmente, constantes tales
como pi e i (i=j=sqrt(-1)) han sido también incorporadas a Matlab. Por ejemplo:

sin(pi/4)
ans =
0.7071

Para determinar el uso de una función basta con escribir: help [nombre función], en
la ventana de comando.

Funciones Personalizadas:

Matlab permite crear funciones propias. Estas son subrutinas escritas en texto y
guardadas como archivos file.m. Es importante destacar que para que al ejecutar
una funcion personal, Matlab sepa donde buscarla, esta debe estar guardada en un
subdirectorio que este incluido en el path de Matlab. La incorporación de este
subdirectorio al path de Matlab, se realiza en el archivo c:\....\matlab\matlabbrc.m

A las funciones se le pasan los valores de las variables como argumentos de
entrada y retornan las variables de salida indicadas en la línea inicial de definición
de la función. Es importante notar que las variables utilizadas en una función son
locales. Si se desea incluir un texto de ayuda que aparezca cada vez que se ejecute
help [nombre función] en la ventana de comando, basta con escribirlo como
comentario a continuación de la línea definición de la función:

function [mean,stdev] = stat(x)
%Formato [mean,stdev] = stat(x). Calcula la media y
%desviación estándard de

%un vector.
%Parametros de entrada: Vector x.
%Parametros de salida: mean (media) y stdev (desviación
%estándard).
%Función Personal P.F.Puleston 27/4/99. Corregida
%25/5/99 incluyendose el Help.
n = length(x);
mean = sum(x) / n;
stdev = sqrt(sum((x - mean).^2)/n);


En este punto vale la pena comentar que para programar Matlab ofrece seis

MODIFICADORES DE FLUJO:

• If: junto con else y elseif, ejecuta un grupo de sentencias según una

condición lógica.

• Switch, junto con case y otherwise, ejecuta diferentes grupos de sentencias

dependiendo del valor de algunas condiciones lógicas.

• While ejecuta un grupo de sentencias un número indefinido de veces,

dependiendo del valor de algunas condiciones lógicas

• For ejecuta un grupo de sentencias un número determinado de veces.

• Try...catch cambia el control de flujo si un error es detectado durante la

ejecución.

• Return retorna la ejecución al punto en que se invocó la función.

Un ejemplo de modificadores de flujo es:
IF I == J



A(I,J) = 2;
ELSEIF ABS(I-J) == 1
A(I,J) = -1;

ELSE
A(I,J) = 0;
END



Notese la existencia de operadores de relación: ==, <, >, <=, >=, o ~=.

Otro ejemplo es:
[m,n]=size(x);
IF (~((m==1)|(n==1))|(m==1&n==1))

END
Y=sum(x)/length(x);

error('La entrada debe ser un vector');

Notese la existencia de operadores lógicos: &, |, ~ y xor.



ARCHIVOS .M

Son conjuntos de comandos y segmentos de programa que, en forma similar a las
funciones, se guardan en un archivo .m, y pueden ser ejecutados al invocarlos
desde la ventana de comandos. En líneas generales operan en forma similar a las
funciones, siendo su principal diferencia que comparten todas las variables del
sistema, es decir sus vari