La interfaz MouseListener:
https://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/awt/event/MouseListener.html
Tiene 5 métodos, uno para cuando se hace click con el ratón, otro para cuando se pulsa, otro para cuando se suelta...
Y uno de ellos, el mouseEntered() es para cuando el ratón "entra" en el espacio que ocupa un componente.
Así que crea una clase que implemente la interfaz MouseListener.
Sobreescribes el método mouseEntered() (el resto los puedes dejar vacíos, pero Java te obligará a implementarlos en esta clase) para que haga lo que tu quieres.
Podría ser algo parecido a esto:
Luego esta clase que implementa el Listener, se la añades al JTextField que quieres que responda al ratón:
Creo que esto te podría servir. Aunque a veces eventos como el MouseEntered no son del todo exactos con según que componentes o según que layouts se aplique. Es cuestión de probar y experimentar.
Por cierto quizás haya algún error en lo que he puesto, lo he escrito de memoria y quizás algo no es correcto. Revisa la API oficial de Java Oracle por si acaso...