PDF de programación - La lógica borrosa y sus aplicaciones

La lógica borrosa

y sus

aplicaciones



La Teoría de Conjuntos
Borrosos fue introducida por
mérito de la Universidad de

California en Berkeley) a mediados de
los años 60. Previamente, Max Black
(1909 - 1989), en un artículo de 1937
titulado "Vagueness: An exercise in
Logical Analysis" y Karl Menger (1902
- 1985) con los artículos de 1942
"Statistical Metrics" y los de los años
50 sobre relaciones borrosas de
indistinguibilidad, sentaron las bases de
lo que hoy es una teoría tan utilizada y
con tan buenos resultados.
Bajo el concepto de Conjunto Borroso
(Fuzzy Set) reside la idea de que los
elementos clave en el pensamiento
humano no son números, sino etiquetas
lingüísticas. Estas etiquetas permiten
que los objetos pasen de pertenecer de
una clase a otra de forma suave y
flexible.
La Lógica Borrosa se puede inscribir
en el contexto de la Lógica
Multivaluada. En 1922 Lukasiewicz
cuestionaba la Lógica Clásica bivaluada
(valores cierto y falso). Además,
adelantaba una lógica de valores ciertos
en el intervalo unidad como
generalización de su lógica trivaluada.
En los años 30 fueron propuestas
lógicas multivaluadas para un número
cualquiera de valores ciertos (igual o
mayor que 2), identificados mediante
números racionales en el intervalo [0,
1].

Lotfi A. Zadeh (Azerbaiyán, 1921,
actualmente profesor e

Uno de los objetivos de la Lógica
Borrosa es proporcionar las bases del
razonamiento aproximado que utiliza
premisas imprecisas como instrumento
para formular el conocimiento.

¿Qué son los conjuntos
borrosos?.
En un conjunto clásico (crisp) se
asigna el valor 0 ó 1 a cada elemento
para indicar la pertenencia o no a dicho
conjunto. Esta función puede
generalizarse de forma que los valores
asignados a los elementos del conjunto
caigan en un rango particular, y con
ello indiquen el grado de pertenencia
de los elementos al conjunto en
cuestión. Esta función se llama
“función de pertenencia” y el
conjunto por ella definida “Conjunto
Borroso”. La función de pertenencia
µA por la que un conjunto borroso A se
define, siendo [0, 1] el intervalo de
números reales que incluye los
extremos, tiene la forma:

µA=X→[0, 1]

Es decir, mientras que en un conjunto
clásico los elementos pertenecen o no
pertenecen a él totalmente (por ejemplo
un número puede pertenecer o no al
conjunto de los pares, pero no
pertenecerá con un determinado grado),
en los conjuntos



borrosos hay grados de pertenencia en
referencia a un universo local. Por
ejemplo en el contexto de nuestra
sociedad actual una persona de 45 años
pertenecerá al conjunto borroso “viejo”
con un grado supongamos de 0.5. Si en
vez de usar de referencia nuestra
sociedad actual aludimos a una
sociedad donde la esperanza de vida
fueran 40 años este grado cambiaría.
A será un Subconjunto Borroso de B
cuando:

µA(x) ≤ µB(x), ∀x∈X



Originalmente la teoría de conjuntos
borrosos se formuló en base a un
conjunto de operadores también válidos
para conjuntos clásicos:

µ¬A(x) = 1 - µA(x)
Negación:
µA∪B(x) = max [µA(x), µB(x)]
Unión:
Intersección: µA∩B(x) = min [µA(x), µB(x)]


Posteriormente se han definido clases
de funciones con propiedades
axiomáticas adecuadas a la utilidad de
cada operador, principalmente las T-
normas y T-conormas, que sirven como
modelos de la intersección y la unión
respectivamente. El origen del uso de
las T-normas y T-conormas se remonta
a las consecuencias del artículo de
Menger de 1942 “Statistical Metrics”.
Para establecer la desigualdad
triangular (en un triángulo cualquiera,
la suma de dos lados siempre es mayor
que el tercero), discípulos de Menger
establecieron y estudiaron el concepto
de norma triangular (T-norma) como
operación tipo para componer (sumar
probabilísticamente) los lados de un
triángulo que no “midan” un número,
sino una función de distribución de
probabilidad. Posteriormente se han
revelado como herramienta adecuada
para formalizar la intersección borrosa.
Pero para completar un tipo de
razonamiento análogo al que se realiza
con lógica clásica es necesario definir
el concepto de implicación. Una
implicación borrosa I es en general una
función de la forma:

I: [0, 1] x [0, 1] → [0, 1]

Para cualesquiera dos valores ciertos a
y b de proposiciones borrosas p, q,
define el valor cierto I(a, b) de la
proposición condicional “si p entonces
q”. Es una extensión de la implicación
clásica p → q del dominio restringido
{0, 1} al dominio completo [0, 1].

Así como en lógica clásica una
implicación se puede expresar de
distintas formas y todas son
equivalentes, sus extensiones a lógica
borrosa resultan no ser equivalentes y
han dado lugar a diferentes clases de
implicaciones borrosas.
Por último, existe un principio que
permite la generalización de conceptos
matemáticos crisp a la teoría de
Conjuntos Borrosos. Cualquier función
que asocie puntos x1,x2,..., xn del
conjunto crisp X al Y puede
generalizarse de forma que asocie
subconjuntos borrosos de X en Y, es el
denominado “Principio de extensión”.

La representación borrosa del
conocimiento.
En lenguaje natural se describen
objetos o situaciones en términos
imprecisos: grande, joven, tímido, ... El
razonamiento basado en estos términos
no puede ser exacto, ya que
normalmente representan impresiones
subjetivas, quizá probables pero no
exactas. Por ello, la Teoría de
Conjuntos Borrosos se presenta más
adecuada que la lógica clásica para
representar el conocimiento humano, ya
que permite que los fenómenos y
observaciones tengan más de dos
estados lógicos.
Para la construcción de Conjuntos
Borrosos para ser usados en Sistemas
Inteligentes son necesarias técnicas
específicas de Adquisición de
Conocimiento. Las más usadas son las
entrevistas y formularios, pero parece
adecuado adaptar otras técnicas al
campo Borroso.
En los Sistemas Basados en el
Conocimiento la función de pertenencia
debe ser obtenida del experto en ese
dominio de conocimiento. Esta función
no ha de ser confundida con una
función de distribución de probabilidad
basada en la repetición de las
observaciones, sino en la opinión del
experto.
La representación habitual del
conocimiento en términos borrosos se
realiza por medio de reglas, del tipo:
Si x1 es A1,1
y/o x2 es A2,1
y/o xn es A1,n
Entonces y es B1
Cada variable que interviene como
hipótesis en una regla tiene asociado un
dominio. Cada dominio puede estar
dividido en tantos Conjuntos Borrosos
como el experto considere oportuno.
Cada una de estas particiones tiene
asociada una Etiqueta Lingüística.



0



FIGURA 1.
Representación de
un «term set»



Tabla de términos con
una descripción estándar
de lo que se entiende por
“altura” (referida a
personas):



E1

1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

0

.1

.2

.3

.140

150

160

.4

170

.5

.6

.7

180

190

.8

200

1

.9

210

220

cm.

Valores lingüísticos



E1: Bajísimo
E2: Muy bajo
E3: Bastante bajo
E4: Ligeramente bajo
E5: Normal
E6: Ligeramente alto
E7: Bastante alto
E8: Muy alto


E9: Altísimo



(a, b, c, d)

(0, 0, 0, 0)
(0, 0, 0.05, 0.1)
(0.05, 0.1, 0.2, 0.25)
(0.15, 0.25, 0.4, 0.5)
(0.3, 0.4, 0.6, 0.7)
(0.5, 0.6, 0.75, 0.85)
(0.75, 0.8, 0.9, 0.95)
(0.9, 0.95, 1, 1)
(1, 1, 1, 1)

Un term-set (Fig. 1) es un conjunto
finito, prioritariamente con 7±2
elementos, que son restricciones de una
variable lingüística borrosa. Este
conjunto de elementos debe ser
suficiente para describir cualquier
situación relativa al contexto en el que
se sitúa el problema.
Por ejemplo, el siguiente conjunto de
términos pretende reflejar una
descripción estándar de lo que se
entiende por “altura” (referida a
personas) (Ver tabla).
El Universo de discurso (alturas) está
normalizado entre 0 y 1 aunque refleja,
por ejemplo, entre 130 y 230 cm.

El Razonamiento Aproximado.
Zadeh introdujo la teoría del
razonamiento aproximado y otros
muchos autores han hecho
contribuciones importantes a este
campo. Aunque superficialmente pueda
parecer que la teoría del razonamiento
aproximado y la lógica clásica se
diferencian enormemente, la lógica
clásica puede ser vista como un caso
especial de la primera. En ambos
sistemas, se pueden ver a las premisas
como inductoras de subconjuntos de
mundos posibles que las satisfacen,
aunque en el caso de la teoría del
razonamiento aproximado esos
conjuntos serán subconjuntos borrosos.
La inferencia en ambos sistemas está
basada en una regla de inclusión: una
hipótesis se infiere de una colección de
premisas si el subconjunto de mundos

posibles que satisfacen la conjunción de
las premisas está contenido en el
subconjunto de mundos posibles que
satisfacen la hipótesis.
La contribución fundamental del
razonamiento aproximado es el uso que
hace de las variables y la representación
de las proposiciones en términos de
valores de verdad lingüísticos -
subconjuntos borrosos- como valores
de esas variables. La lógica clásica sólo
usa de modo implícito de idea de
variable, en el sentido de valor de
verdad asociado a una proposición. Sin
embargo, su naturaleza binaria le
permite ocultar este hecho, ya que nos
podemos referir a una proposición que
es verdadera por su denotación, p, y a
una que es falsa simplemente por su
negación, ¬p, evitando así la
introducción de una variable Vp cuyo
valor sea la valoración de la
proposición p. El uso del concepto de
variable en la teoría del razonamiento
aproximado conduce a tratar dominios
que no están dentro del ámbito de la
lógica clásica, como es el caso de los
problemas que tratan los Sistemas
Expertos borrosos o los controladores
borrosos.
La teoría del razonamiento
aproximado permite representar
también cuantificadores lingüísticos
situados entre el “para todo” y el
“existe” clásicos. E