PDF de programación - Teoría de la Complejidad Algorítmica - Capítulo 8

Capítulo 8

Teoría de la Complejidad Algorítmica

Seguridad Informática y Criptografía

Ultima actualización del archivo: 01/03/06
Este archivo tiene: 31 diapositivas

v 4.1

Material Docente de
Libre Distribución

Dr. Jorge Ramió Aguirre
Universidad Politécnica de Madrid

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Publicaciones de la Escuela Universitaria de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid, España.

Curso de Seguridad Informática y Criptografía © JRA

Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 313

Introducción a la teoría de la complejidad

La teoría de la complejidad de los algoritmos permitirá, entre otras
cosas, conocer la fortaleza de un algoritmo y tener así una idea de
su vulnerabilidad computacional.

Complejidad Computacional

Los algoritmos pueden clasificarse según su tiempo de ejecución,
en función del tamaño u orden de la entrada. Hablamos así de
complejidad:

• Polinomial ⇒ comportamiento similar al lineal
• Polinomial No Determinísta ⇒ comportamiento exponencial
Esto dará lugar a “problemas fáciles” y “problemas difíciles” cuyo
uso será muy interesante en la criptografía.

© Jorge Ramió Aguirre Madrid (España) 2006

Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 314

Operaciones bit en la suma

Si deseamos sumar dos números binarios n y m, ambos de k bits
realizaremos k operaciones bit puesto que cada operación básica
con los dígitos de una columna es una operación bit.
• Recuerde que 0+0 = 0, 0+1=1, 1+0 = 1, 1+1 = 0 con bit 1 de acarreo.
• Si un número tiene menos bits, se rellena con ceros por la izquierda.
Ejemplo: encontrar el número de operaciones bit necesarias en la
suma en binario de 13+7 ⇒ 1101 + 0111 (de k = 4 bits)

1 1 1 1 (bits de acarreo)

+

1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 0 0

Cada operación básica que hacemos con una columna se conoce
como operación bit, luego necesitamos k = 4 operaciones bit.

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 315

Operaciones bit en la multiplicación

Para la multiplicación de un número n de k bits por un número
m de h bits, el número de operaciones bit será igual a 2∗k∗h.
Suponemos que k ≥ h.
• Recuerde que 0x0 = 0, 0x1=0, 1x0 = 0, 1x1 = 1.
Ejemplo: encontrar el número de operaciones bit necesarias en la
multiplicación en binario 10x5 ⇒ 1010 x 101 (4 y 3 bits)

1 0 1 0 x 1 0 1
1 0 1 0

0 0 0 0

+ 1 0 1 0 (procedemos ahora a sumar)

1 1 0 0 1 0

Como cada operación básica entre dos bits es una operación bit,
hemos realizado h∗k = 3∗4 multiplicaciones y luego k∗h = 4∗3
sumas, es decir en total 2∗k∗h = 24 operaciones bit.

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 316

La función O(n)

Las operaciones dependerán del tamaño de la entrada por lo
que esta complejidad se expresará en términos del tiempo T
necesario para el cálculo del algoritmo y del espacio S que
utiliza en memoria, y se expresará mediante una función
f (n), donde n es el tamaño de la entrada.
Esta función será una aproximación pues el resultado exacto
dependerá de la velocidad del procesador.

f (n) = O(g(n))

Ejemplo

Y se define así: f = O(n) ssi ∃ co,no / f(n) ≤ co∗g(n)

http://www.mm.informatik.tu-darmstadt.de/courses/2002ws/ics/lectures/v14.pdf



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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 317

Complejidad de una función f(n)
Si f (n) = 4n2 + 2n + 5 ¿ f = O(n2)?

¿se cumple que co∗g(n) = co∗n2 ≥ f (n)? Sea co = 6
f (n) = 4n2 + 2n + 5 ¿co∗n2 ≥ f (n)?
co
6
6
6
6

No
No
Sí
Sí
Luego, la complejidad de f (n) es exponencial.

11
25
38
77

Se cumple
siempre

no
1
2
3
4

cono
2
6
24
54
96

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 318

Tiempos de ejecución

En la expresión O(n) aparecerá el término que domina al
crecer el valor de n.

• El tiempo de ejecución de un algoritmo T1 que realiza
2n+1 operaciones es de tipo O(n); uno T2 que realiza
3n2+n+3 operaciones será de tipo O(n2), etc.

• Para realizar la suma de la diapositiva anterior necesitamos

O(n) = O(log n) operaciones bit y para el caso de la
multiplicación, éstas serán O(n∗m) = O(log n ∗ log m)
operaciones bit.

+ Operación binaria: n+m (de k bits cada uno)
∗ Operación binaria: n∗m (de k y h bits respectivamente)

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 319

Algoritmos de complejidad polinomial

• Un algoritmo se dice que tiene tiempo de ejecución
polinomial (no confundir con lineal) si éste depende
polinómicamente del tamaño de la entrada.

• Si la entrada es de tamaño n y t es un entero, el

número de operaciones bit será O(logt n).

Ejemplos

Si t = 1, el sistema es lineal
Si t = 2, el sistema es cuadrático

Si t = 3, el sistema es cúbico

Suma
Producto
Máximo Común
Divisor (Euclides)

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 320

Ejemplo de complejidad polinomial

Pregunta: El tiempo de ejecución de un algoritmo es
O(log3 n). Si doblamos el tamaño de la entrada, ¿en
cuánto aumentará este tiempo?
Solución: En el primer caso el tiempo es O(log3 n) y en
el segundo O(log3 2n). Para este sistema polinomial, el
tiempo se incrementará sólo en log3 2 operaciones bit.

Estos son los denominados problemas fáciles y son
los que involucrarán un proceso de cifra y descifrado
(o firma) por parte del o de los usuarios autorizados.

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 321

Algoritmos de complejidad no determinista

• Un algoritmo se dice que tiene tiempo de ejecución

polinomial no determinista (en este caso exponencial)
si éste depende exponencialmente del tamaño de la
entrada.

• Si la entrada es de tamaño n y t es un entero, el

número de operaciones bit será O(nt).

Para t = 2, será exponencial de orden 2

Para t = 3, será exponencial de orden 3

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Ejemplo

n!

Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 322

Ejemplo de complejidad no determinista

Pregunta: El tiempo de ejecución de un algoritmo es
O(n3). Si doblamos el tamaño de la entrada, ¿en cuánto
aumentará este tiempo?
Solución: En el primer caso el tiempo es O(n3) y en el
segundo O((2n)3) = O(8n3). El tiempo para este sistema
exponencial, se incrementará en 8 operaciones bit.

Estos son los denominados problemas difíciles y son a
los que deberá enfrentarse un criptoanalista o atacante
que desea romper una cifra o la clave de un usuario.

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 323

Comparativas de complejidad

• Los algoritmos polinómicos y exponenciales se

comparan por su complejidad O(nt).
– Polinómico constante ⇒ O(1)
– Polinómico lineal ⇒ O(n)
– Polinómico cuadrático ⇒ O(n2)
– Polinómico cúbico ⇒ O(n3)
– Exponencial ⇒ O(dh(n))

... etc.

donde d es una constante y h(n) un polinomio

Si suponemos un ordenador capaz de realizar 109
instrucciones por segundo obtenemos este cuadro:

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 324

Tabla comparativa de tiempos

Entrada

O(n) O(n2) O(n3) O(2n)

n = 10 10-8 seg 10-7 seg 10-6 seg 10-6 seg
n = 102
n = 103

10-7 seg 10-5 seg 10-3 seg 4∗1013 años
10-6 seg 10-3 seg 1 seg Muy grande

Incrementos de un
orden de magnitud

Computacionalmente
imposible

Entrada/109: Para n = 100 ⇒ O(n2) = 1002/109 = 10-5 seg

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 325

Problemas de tipo NP

En criptografía nos interesan las funciones f(x) de un solo
sentido, es decir:

Fácil calcular f(x) pero muy difícil calcular f-1(x)

salvo que conozcamos un secreto o trampa.

Porque dan lugar a problemas de tipo NP, polinomiales no
deterministas, computacionalmente difíciles de tratar:

Problema de la mochila
Problema de la factorización
Problema del logaritmo discreto
Problema logaritmo discreto en curvas elípticas
Otros

Definición del
problema y
ejemplos

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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 326

El problema de la mochila

• Es un problema de tipo NP en el
que el algoritmo debe realizar en
cada paso una selección iterativa
entre diferentes opciones.

Enunciado:

Dada una mochila de determinadas dimensiones de alto,
ancho y fondo, y un conjunto de elementos de distintos
tamaños menores que ella y de cualquier dimensión, ...
¿es posible llenar la mochila (completa) con distintos
elementos de ese conjunto sin repetir ninguno de ellos?

http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem



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Capítulo 8: Teoría de la Complejidad Algorítmica

Página 327

Ejemplo del problema de la mochila

S = a1 + a2 + a3

A = {a1, a2, a3}

¿Se incluye a1 en la suma S?

Sí

a1

No

¿Se incluye a2 en la suma?

Los resultados son todos
distintos: una casualidad
☺

Sí

a2

No

a2
No

Sí

a3

Sí No Sí

¿Se incluye a3?
a3
No Sí

a3
No Sí No

a3

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7