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Introducción al Tráfico Autosimilar en Redes de Comunicaciones

Marco Aurelio Alzate Monroy, Universidad Distrital



RESUMEN


El

tráfico se modela mediante un proceso
estocástico que representa la demanda que los usuarios
de una red de comunicaciones imponen sobre los
recursos de la red. Originalmente se consideró que los
tiempos entre llegadas de las demandas de los usuarios
eran independientes entre sí, así como la cantidad
misma de la demanda (tiempos entre llamadas y
duración de las llamadas, tiempos entre llegada de
paquetes y longitud de los paquetes, tiempos entre
solicitud de conexiones y duración de las sesiones,
etc.). Posteriormente se vio la necesidad de incluir el
efecto de la correlación existente entre estas variables,
para lo cual se desarrollaron modelos más elaborados
en los que la correlación decaía exponencialmente con
recientemente se ha
el
evidenciado que, en
redes modernas de
comunicaciones, la correlación entre estas variables no
decae tan rápidamente y puede persistir a través de
muchas escalas de tiempo. Este fenómeno, que afecta
significativamente el desempeño de las redes de
comunicaciones, se puede representar adecuadamente
mediante modelos de tráfico fractal o autosimilar. En
este artículo se presentan los conceptos más básicos
involucrados en el estudio de estos modelos, con el fin
de facilitar al lector su introducción a la literatura
especializada sobre el tema.

tiempo. Sin embargo,
las

Palabras

claves: Modelos

tráfico,
autosimilitud, dependencia de rango largo, distribución
de cola pesada, movimiento browniano fraccional.

ABSTRACT


Traffic

is modeled as an stochastic process
representing the demand that users impose on the
resources of a communication network. Originally,
both the demand interarrival times and the demand
amounts were considered as sequences of independent
variables (call durations, packet lengths, file sizes,
etc.). Later on, it became apparent that the correlation
among these variables were so important that new
models with exponentially decaying correlations were
developed. However, recent evidence has shown that
the correlation among these variables can decay much
slower and persists through several time scales. This
phenomenon, that impacts the network performance
significatively, can be represented via fractal or self-
similar models. In this paper we present the most basic
concepts involved in the study of these models, hoping
to help the reader to be better prepared for reading the
especialized literature on the subject.

de

Keywords: Traffic modeling, self-similarity, long-
range dependence, heavy-tailed distributions, fractional
brownian motion.

1. INTRODUCCIÓN


Aunque los fenómenos de autosimilitud en el
tráfico de las actuales redes de comunicaciones se
descubrió hace ya casi una década[26], en nuestro
medio no se ha querido abordar el tema formalmente
pues todavía se le considera como un aspecto “muy
avanzado” de la teleinformática. Sin embargo, los
efectos que este fenómeno produce en el desempeño de
las redes exigen que iniciemos inmediatamente el
estudio del tema. En efecto, los modelos tradicionales
de tráfico permiten fácilmente controlar la variabilidad
de la demanda y, por consiguiente, con ellos resulta
relativamente fácil ejercer control de tráfico de manera
que se puedan garantizar algunos niveles mínimos de
calidad de servicio. Desafortunadamente, el fenómeno
de la autosimilitud puede conducir a estructuras
complejas de correlación en las que la variabilidad se
extiende a muchas escalas de tiempo, invalidando las
técnicas de control diseñadas para dichos modelos
tradicionales de
tráfico[30]. Así pues, estamos
obligados a revisar
todos nuestros esquemas de
asignación de recursos, control de congestión y
dimensionamiento de redes a la luz de este fenómeno
observado en el tráfico de las redes de comunicaciones.
Puesto que la principal dificultad para empezar a
abordar estos temas es el tratamiento matemático que
se le da en la literatura especializada, se ha querido
presentar en este artículo
los
principales conceptos involucrados en el tema general
del tráfico autosimilar en redes de comunicaciones de
una manera relativamente sencilla, con la esperanza de
ofrecer al lector mejores herramientas para abordar el
tema del
literatura
especializada y, porqué no, para conducir su propia
investigación al respecto. Por supuesto, si queremos
hacer un estudio serio del tema debemos ubicarnos al
nivel de abstracción matemática que se necesita y por
eso la presentación de los conceptos no puede dejar de
ser formal. En consecuencia, aquí se supone de parte
del lector un conocimiento general de la teoría de
probabilidades con algunos fundamentos básicos de
procesos estocásticos, tal como el conocimiento que se
imparte en un curso típico de pregrado en un programa
de ingeniería electrónica o de sistemas.

tráfico autosimilar en

la definición de

En el artículo se presentan brevemente

las
principales
tráfico,
haciendo especial énfasis en cómo la autocorrelación
de los modelos tradicionales decae exponencialmente

técnicas de modelamiento de

la

del

efecto

real y se muestra cómo

recientemente. Luego se discute

con el tiempo, en abierta contradicción con las medidas
observadas
la
necesidad de un nuevo modelo que capture las
estructuras complejas de correlación observadas en
tráfico
los modelos
autosimilares satisfacen esta necesidad. Posteriormente
se definen los conceptos fundamentales involucrados
en el modelamiento autosimilar del tráfico, tales como
autosimilitud determinística, autosimilitud estocástica
exacta, autosimilitud de segundo orden, autosimilitud
asintótica de segundo orden, dependencia de rango
largo, distribución de cola pesada, movimiento
browniano fraccional y ruido gaussiano fraccional.
Finalmente se mencionan algunas técnicas de síntesis
de movimiento browniano
fraccional así como
mecanismos para estimación de parámetros a partir de
trazas muestrales.

tráfico

autosimilar

Este es el primero de una serie de cuatro artículos
sobre el tema. En el segundo artículo se mencionará
como la transformada wavelet se convierte en una
herramienta ideal para detección, estimación y síntesis
de tráfico autosimilar. En el tercer artículo se describirá
el
el
comportamiento dinámico de las colas en elementos de
red tales como enrutadores y multiplexores. En el
cuarto y último artículo se describirán aspectos
adicionales como control de congestión, ingeniería de
tráfico y dimensionamiento de redes considerando la
autosimilitud en el tráfico.

2. MODELAMIENTO DE TRÁFICO


paquetes, celdas,

los usuarios de una

Para estudiar el tráfico, esto es, la medida de la
demanda que
red de
comunicaciones imponen sobre los recursos de la red,
se utilizan modelos matemáticos del comportamiento
de los usuarios. En particular, se representan los
patrones de llegada de las demandas que los usuarios
producen, donde estas demandas se pueden medir en
términos de
llamadas, flujos,
conexiones, bits, o cualquier otra unidad de
información adecuada. Estos patrones de llegada se
representan mediante alguna secuencia de tiempo que
los identifique, tal como los instantes de llegada, {Tn,
n∈Z}, o el número de llegadas hasta el instante t,
{N(t), t ∈ R}, o la secuencia de tiempo entre llegadas,
{An, n ∈Z}, etc. Por supuesto, como estas secuencias
son
se
encuentran íntimamente relacionadas entre sí[7]:

representaciones del mismo

fenómeno,

sobre

≤

t

]

tN
)(
A

n

T

n

=
Tn
max[
|
n
−
=
T
T
n
n
n


A
k

=

−
1

=
1

k



(1)



La Figura 1(a) muestra un minuto de dos
secuencias del tipo {N(t), t∈R}, mientras que las
Figuras 1(b) y 1(c) muestran los primeros cuatro
segundos de las correspondientes secuencias del tipo
{Tn, n∈Z}. Se trata de la llegada de paquetes de voz y
datos en una red local con servicios integrados de voz y
datos[6].

Los
deben

correspondientes
capturar

Lo primero que se puede observar es

la
impredecibilidad de las secuencias, lo que obliga a
modelar las series de tiempo {Tn, n∈Z}, {N(t), t ∈ R}
o {An, n ∈Z}, como realizaciones de procesos
estocásticos.
modelos
estocásticos
principales
características estadísticas del tráfico en cuanto a su
impacto en el desempeño de las redes. Por ejemplo,
mientras las llegadas de paquetes de datos de la Figura
1(c) pueden modelarse como un simple proceso de
Poisson con una intensidad adecuada, las llegadas de
paquetes de voz de la Figura 1(b) deberán modelarse
mediante un proceso que tenga en cuenta la correlación
entre las llegadas impuesta por los intervalos de
actividad e
inactividad del usuario. Este simple
ejemplo ilustra, pues, la necesidad de desarrollar
distintos modelos de tráfico para diferentes tipos de
servicio.

las

1000

500

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

N(t) = Número de Paquetes de Voz que Llegaron en [0,t]
M(t) = Número de Paquetes de Datos que Llegaron en [0,t]

0

0

0.5

1

1.5

Instantes de Llegada de los primeros 96 Paquetes de Voz

0.5

1

1.5

Instantes de Llegada de los primeros 66 Paquetes de Datos

2

2

2.5

2.5

3

3

3.5

4

3.5

4



Figura 1. Series