PDF de programación - Matrices - Guía de LibreOffice

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Fórmulas matriciales



Guía 12

MATRICES

Las hojas de cálculo poseen prestaciones interesantes la
gestión de matrices de tipo matemático. Unas consisten en
facilitar los cálculos matriciales y otras están orientadas a
cálculos estadísticos.

CONTENIDO

Matrices ............................................................................... 1

Contenido .......................................................................... 1

Fórmulas matriciales ......................................................... 2

Operaciones con matrices ................................................ 5

Suma y resta ................................................................... 5

Determinante .................................................................. 6

Inversa ............................................................................ 7

Sistema de ecuaciones lineales ..................................... 7

Matriz unitaria ................................................................. 9

Transponer ..................................................................... 9

Matrices en Estadística ................................................... 10

Frecuencia .................................................................... 10

Suma de productos ....................................................... 11

Tendencia y Estimación ................................................ 12



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FÓRMULAS MATRICIALES


Las funciones de tipo matricial se distinguen de las demás
por dos aspectos:


Argumento y/o resultado de tipo rango (matriz)

Las funciones de tipo matricial suelen actuar sobre un
rango completo o matriz, y no sobre una sola celda. Así por
ejemplo actúa MDETERM, que calcula el determinante de
una matriz cuadrada. Ese detalle solo no las distingue de
otras como COEF.DE.CORREL, que también actúa sobre
todo un rango de datos. Veremos en los siguientes párrafos
que se necesita algo más.

Otras funciones no sólo actúan sobre una matriz, sino que
el resultado que producen es otra matriz. Así actúa
MMULT, que multiplica dos matrices y el resultado se
presenta como otra matriz.

La primera propiedad, pues, de estas funciones es que
actúan sobre matrices y pueden producir como resultado
otra matriz. También, como veremos más adelante, pueden
devolver un solo resultado en una celda.

Gestión de la entrada de la función

La propiedad más característica de estas funciones es que
su fórmula está escrita entre llaves {}, y eso se logra
usando, al terminar de escribirlas, la combinación de teclas
Ctrl+Mayúscula+Intro, en lugar de usar sólo Intro, que es
lo usual.

Haz la prueba:

Escribe una matriz cuadrada. Por ejemplo



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que


En otra celda escribe la fórmula =MDERTM(rango de la
matriz
con
Ctrl+Mayúscula+Intro. Observarás que su fórmula se ha
escrito entre llaves y que el resultado es el determinante de
la matriz. En la imagen lo tienes:


escrito)

termina

has

y



La fórmula {=MDETERM(B2:C3)} está escrita entre llaves
(es de tipo matricial), actúa sobre el rango B2:C3, que es la
matriz cuadrada, y produce el resultado de 33, que equivale
al determinante de la matriz, 33=23*1-(-5)*2. Las llaves no
las podemos escribir directamente, sino que hay que usar
Ctrl+Mayúscula+Intro.

Si la fórmula produce un rango, hay que seleccionar ese
rango antes de escribir
fórmula, aunque hemos
observado que funciona generalmente si sólo se selecciona
la primera celda.

Lo vemos con un ejemplo. Supongamos que, ya que el
determinante no es nulo, deseamos encontrar la matriz
inversa de la dada. En ese caso debemos seleccionar
antes de escribir un rango cuadrado de 2 por 2, por ejemplo
el D2:E3 (en amarillo en la siguiente imagen), después
escribir
con
Ctrl+Mayúscula+Intro


=MINVERSA(B2:C3)

terminar

la

y



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Resumimos los pasos:


 Seleccionar rango de salida (puede ser una sola

celda)

 Escribir la fórmula con funciones matriciales
 Terminar con Ctrl+Mayúscula+Intro


Podemos también usar el botón fx de introducir funciones,
y en este caso, después de seleccionar el rango, se
localiza la función, y se ejecuta con doble clic. En la
ventana de introducir el rango de datos hay que mantener
activada la casilla de “Arreglo” que figura en la parte baja:



Se ha seleccionado una celda, en la ventana se ha fijado
como argumento de la función MINVERSA el rango B2:C3
y se ha mantenido activado el parámetro “Matriz”. Se pulsa
en Aceptar y se consigue así introducir la fórmula matricial.
Si ahora seleccionas cualquier celda de la nueva matriz,
verás que Calc ha introducido las llaves en su fórmula:



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OPERACIONES CON MATRICES



y

terminar

de

escribirla

SUMA Y RESTA

Para sumar dos matrices estas deben tener el mismo
número de filas y columnas (una con la otra. Cada una
puede ser rectangular)

Para sumarlas basta con usar el signo de la suma entre sus
dos rangos, como si sumaras números. En lugar de una
fórmula del tipo =C5+D2, debes usar rangos, como en
=A6:B10+H6:I10
con
Ctrl+Mayúscula+Intro.

Puedes estudiar este procedimiento
en la hoja de la imagen, en la que la
fórmula sugerida está escrita entre
llaves.



Resta

La diferencia entre dos matrices se organiza de la misma
forma que la suma, pero cambiando el signo + por el signo
–

Producto

Aquí no nos sirve la misma estructura. Si escribes
A2:B5*C2:D5 no obtienes el producto de matrices en su
sentido algebraico, sino el producto de cada elemento en



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una matriz por su homólogo en la otra, que puede ser
interesante, pero no pertenece al cálculo matricial.

Recuerda que para poder multiplicar dos matrices el
número de columnas de la primera ha de ser igual al de
filas en la segunda. Es condición imprescindible. Recuerda
también que deberás reservar un rango que posea el
mismo número de filas que la primera matriz y el de
columnas igual al de la segunda (o bien su celda inicial)

Una vez seleccionado ese rango usa la función MMULT
seguida de los dos rangos separados por punto y coma y
encerrados entre paréntesis. Como siempre, no olvides
terminar con Ctrl+Mayúscula+Intro.

Observa bien el siguiente ejemplo:



se

ha


La primera matriz posee tres columnas y la segunda tres
filas, luego se pueden multiplicar. Hemos reservado dos
filas (como la primera matriz) y una sola columna (como la
otra). Después
fórmula
{=MMULT(C2:E3;G2:G4)} para obtener el producto.


escrito

como

DETERMINANTE

El determinante de una matriz cuadrada se obtiene con la
función MDETERM. El resultado ocupa sólo una celda, ya
que se trata de un número real. Esto hace que no sea
necesario
fórmula con
Ctrl+Mayúscula+Intro.

la escritura de una

terminar



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Si la matriz no es cuadrada, se nos devolverá un mensaje
de error.


INVERSA

Para que una matriz posea inversa ha de ser cuadrada y de
determinante no nulo. Cumplidas estas condiciones se
obtendrá la inversa con la función matricial MINVERSA,
que actúa sobre un rango cuadrado y se construye sobre
otro rango similar. Hay que cuidar bien estas condiciones.

Los errores de truncamiento y redondeo pueden producir
que el producto de una matriz por la inversa obtenida con
MINVERSA no equivalga exactamente a la matriz unidad.

Puedes verlo en el cálculo de la imagen:



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Las funciones y operaciones anteriores nos permiten
resolver un sistema de ecuaciones en el caso de que sea
cuadrado con determinante nulo. No damos los detalles
matemáticos, sino sólo el procedimiento de resolución.
Imaginemos un sistema escrito en forma matricial, con las
indeterminadas arriba y el segundo miembro a la derecha.
Sea, por ejemplo este:



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2x+3y-7,5z+u=22
3x+10,5y+21,3z+4u=2
2x+y+z+u=1
7x+u=20

Lo podemos representar así:



En primer lugar calcularíamos el determinante de las cuatro
primeras columnas mediante MDETERM. Nos resultaría
15,75 (puedes ir reproduciendo los cálculos). Esto significa
que existe solución.

Encontramos a continuación la matriz inversa usando
MINVERSA. En la imagen está situada debajo del sistema:



Por último, multiplicamos la inversa por la columna de
independientes con la función MMULT. El resultado será la
matriz de soluciones del sistema.


-5,7428571429
-73,5873015873
25,873015873
60,2

interpreta


Se
73,5873015873; z=25,873015873; u=60,2.


como

que

x=-5,7428571429;

y=-



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las soluciones y deberá darte

Si deseas comprobar, multiplica la matriz de coeficientes
por
la matriz de
independientes, salvo algún pequeño error de redondeo.



MATRIZ UNITARIA

Para conseguir rellenar un rango cuadrado con una matriz
unitaria seguiremos estos pasos:


 Seleccionar una celda, que será la superior izquierda

de la nueva matriz.

 Usar la función MUNITAR