PDF de programación - Caracterización del Tráfico

ARQUITECTURA DE REDES, SISTEMAS Y SERVICIOS

Área de Ingeniería Telemática

Caracterización del tráfico

Area de Ingeniería Telemática

http://www.tlm.unavarra.es



Arquitectura de Redes, Sistemas y Servicios

Grado en Ingeniería en Tecnologías de

Telecomunicación, 2º


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Temario

Introducción

1. 
2.  Arquitecturas de conmutación y protocolos
3. 
4.  Control de acceso al medio
5.  Conmutación de circuitos

Introducción a las tecnologías de red

La Red Telefónica Básica

1. 
2.  Modelado de usuarios
3.  Cálculos de bloqueo

6.  Transporte fiable
7.  Encaminamiento
8.  Programación para redes y servicios


Objetivos

•  Conocer los modelos básicos para usuarios

de la red telefónica


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Problema tipo a resolver

•  Conmutador con líneas de entrada y de salida
•  Entradas usuarios finales o troncales: lo que nos importará es la
•  Salidas troncales (máximo N llamadas simultáneas salen)
•  Decidir N para poder cursar las llamadas con una probabilidad

cantidad de llamadas que llegan al conmutador

de bloqueo máxima objetivo

•  o decidir la cantidad de llamadas que puede cursar para un N y

ese máximo bloqueo

1!

…!

N

…!


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Modelando la carga

experimento

Variable aleatoria (V)
•  No tiene un valor sino que describe el resultado aleatorio de un

•  Se caracteriza por la descripción de los posibles resultados que puede
•  Función de distribución / densidad de probabilidad

tomar en términos de probabilidad

Variable discreta

Variable continua

a

•  Función acumulada de probabilidad / distribución

a b

Variable discreta

100%

Variable continua

100%

a

a

Modelando la carga

Procesos estocásticos (V)
•  Una familia de variables aleatorias

Xt : t ∈T

}

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•  Hablaremos de

– 
– 

“Tiempo continuo” cuando T es real, por ejemplo T = [0,∞]
“Tiempo discreto” cuando T es numerable, por ejemplo T = {0,1,2…}

€


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Proceso de llegadas

•  Hipótesis fundamental en teoría clásica: llegadas independientes
•  Tasa media de llegadas de llamadas de una gran población de

fuentes (usuarios) independientes: λ

…!

tiempo …!

Número de llegadas

•  Hipótesis:


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una llegada

–  En un intervalo suficientemente pequeño solo puede producirse
–  La probabilidad de una llegada en un intervalo suficientemente
pequeño es directamente proporcional a la longitud del mismo
(probabilidad λΔt)

–  La probabilidad de una llegada en un intervalo es independiente de
•  Se demuestra que el número de llegadas en un intervalo sigue

lo que suceda en otros intervalos

una distribución de Poisson

PλΔt[N = k] =

(λΔt)k
k!

e−λΔt

1

k

€

tiempo

¿ Cuántos eventos suceden en
un intervalo Δt ?

Distribución de Poisson

P[N=k]

P[N = k] =

(λΔt)k
k!

e−λΔt

k

λΔt
•  Es una función de distribución:
&
= 1+ λΔt +
(
'

P[N = k]

∑
k=0

∞

(λΔt)2

2

(λΔt)3

6

+

)
+ ...
+ e−λΔt = eλΔte−λΔt =1
*

•  Su valor medio es λΔt :

€

N = E[N] =

kP[N = k]

∞

∑
k=0

&
= 0 + λΔt + (λΔt)2 +
(
'

(λΔt)3

2

+

(λΔt)4

6

)
...
+ e−λΔt = λΔteλΔte−λΔt = λΔt
*


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Tiempos entre llegadas

•  Se demuestra que: si el número de eventos que ocurren en un
intervalo cualquiera sigue una distribución de Poisson, los tiempos
entre llegadas de eventos siguen una distribución exponencial

•  El tiempo entre llegadas sigue una v.a. exponencial de parámetro λ
•  Xi variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

(i.i.d.) (‘X’)


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pX (t) = λe−λt

(t>0)

P[X < t] =1−e−λt

tλe−λt

= 1

λ

∞

∫
0

€

•  Media:

E[X] =

€

•  Tiempo medio entre llegadas 1/λ ⇒ en media λ llegadas por segundo
€

X1

X2

X3 X4 X5 X6

X7

tiempo

Ejemplo (exponencial)


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Ejemplo (exponencial)


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 Ejemplo (proceso de Poisson)


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Random splitting

•  Proceso de Poisson con tasa λ
•  Repartidas las llegadas en dos grupos mediante

Bernoulli de parámetro p

•  Los procesos resultantes son procesos de Poisson

de tasas λp y λ(1-p)

λ

λp

λ(1-p)


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Superposición

•  La superposición de dos procesos de Poisson es un proceso de

Poisson de tasa la suma de las dos (…)

Poisson process

Poisson process

Poisson process


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Superposición

•  Para ciertos procesos muy comunes (independientes), la
superposición de un gran número de ellos tiende a un proceso
de Poisson

…

limit!


•  Las peticiones de usuarios individuales es probable que no se

Poisson process

puedan modelar con un proceso de Poisson

•  El múltiplex de un gran número de usuarios independientes sí


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Tiempo de ocupación

•  Duración de las llamadas
•  Lo más simple: tiempo constante

–  Poco realista para llamadas
–  Actividades automáticas: reproducción de

mensajes, procesado de señalización, etc.

•  Tiempo exponencial

–  Variables aleatorias (continuas) ‘si’
– 
–  Tiempos menores de la media muy

i.i.d. (‘s’)

–  Cada vez menos comunes tiempos mayores

comunes

que la media

–  Propiedad: el tiempo restante de una
llamada es independiente de lo que haya
durado hasta ahora

•  Duración exponencial: ‘s’ caracterizada por

€

su función de densidad

€

€

J.R.Boucher, “Voice Teletraffic
Systems Engineering”, Ed.
Artech House

ps(t) = µe−µt

(t>0)

µe−µt =1

∞

∫
0

es una fdp

s = E[s] = 1
µ


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Ejemplo

Infinitas líneas

• 
•  Llamadas que se generan con una tasa media λ
•  Tiempo medio de duración s
•  ¿ Intensidad de tráfico media que representan ?
•  En un intervalo T se producen en media λT llegadas
•  Eso implica un volumen de tráfico de λTs
•  La intensidad de tráfico se obtiene dividiendo ese

volumen por el intervalo de medida, luego: I = λs

λ llegadas por segundo
en media

…!

1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos en media

 Número de líneas ocupadas


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•  Hipótesis:

–  Llamadas proceso de Poisson con tasa λ
–  Solicitudes de servicio de duración constante ‘s’

•  ¿ Número de líneas ocupadas en un instante cualquiera ? (…)

–  Es una variable aleatoria (…)
–  La probabilidad de que ‘j’ líneas estén ocupadas en un instante es la

probabilidad de ‘j’ llegadas en el intervalo previo de duración ‘s’ (…)

–  Depende solo de la intensidad de tráfico λs, que es la media de esta

variable (A = λs) (…)

–  Resulta ser válido independiente de la distribución de ‘s’ (sin demostración)

Intensidad de tráfico

Pλs[N = j] =

λ Llegadas
por segundo

(λs)j
j! e−λs

1 llegada mantiene una línea ocupada
durante s segundos

…!


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tiempo


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Resumen

•  Proceso de llegadas de Poisson

–  Como agregación de una gran cantiadad de

procesos independientes

–  Su división aleatoria es de nuevo de P