PDF de programación - Divisores

Divisores



Edición otoño 2015

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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PRESENT ACIÓN



Los divisores de un número forman un conjunto cerrado y simétrico,
que da lugar a propiedades espectaculares, ya que mejor que otros
reflejan la dualidad entre suma y producto que presentan las
cuestiones de divisibilidad.

En este documento se incluyen temas que bien podrían pertenecer a
otros, e,
inversamente, algunas cuestiones sobre divisores se
encuentran en los referentes a las funciones multiplicativas y a las que
contienen sumas y conteos de divisores.

En esta edición se han añadido cuestiones muy variadas, que figurarán
en capítulos distintos, unas de nueva
incorporación y otras
procedentes de publicaciones anteriores. Destaca el relativo a la
función de Smarandache y los números de Kempner.

Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena.



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T AB L A D E C O N T E N I D O



Presentación ..................................................................................................2

Retículos en el conjunto de divisores .........................................................4

Cuestiones muy preparadas .................................................................... 12

Mútiplos decrecientes .............................................................................. 13

El mayor divisor impar ............................................................................. 15

Identidad de cifras con el mdi .................................................................. 20

Identidad con otras partes del número .................................................... 24

El mayor divisor ....................................................................................... 28

Fórmula de Polignac ................................................................................ 29

Primo divisor de un repunit ...................................................................... 30

Números de Aquiles ................................................................................ 32

Primorial ................................................................................................... 39

Números consecutivos, ambos libres de cuadrados ............................... 44

¿De dónde vengo? .................................................................................. 54

La función de Smarandache y los números de Kempner ...................... 68

Factorizaciones .......................................................................................... 83

Productos consecutivos con los mismos factores ................................... 83

Un cuadrado y una unidad....................................................................... 83

Casi factoriales ........................................................................................ 85

Números altamente compuestos ............................................................. 85

Factores primos de la parte libre ............................................................. 98

También con múltiplos ............................................................................ 120

Subida a ritmo de M.C.M ....................................................................... 120

Soluciones ................................................................................................ 124

Apéndice ................................................................................................... 129

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R E T Í C U L OS E N EL C O N J U N T O D E D I V I S O R E S



El conjunto de divisores de un número natural N está ordenado

parcialmente mediante la relación de orden ab (“a divide a b”) que es
reflexiva, simétrica y transitiva, pero en la que dos elementos pueden
no ser comparables: ni 6 divide a 13 ni 13 a 6. Por ello decimos que se
trata de un orden parcial. En cualquier texto o página específica
puedes leer más detalles. Con un nivel elemental, en nuestro
documento sobre Teoría de la Divisibilidad

http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/teoria/teordivi.pdf

Quizás sepas que el conjunto de los divisores de un número tiene
estructura de retículo. Aquí sólo daremos una noción de este concepto
en su variante de orden (existe otra definición algebraica y ambas son
equivalentes)

Definimos

Se dice que un conjunto ordenado es filtrante superiormente si para
cada par de elementos a y b del mismo existe al menos otro elemento
del conjunto que es mayorante de ellos (en nuestra relación de
divisibilidad se traduciría como “múltiplo común”). Lo será inferiormente
si existe un minorante de ambos (aquí sería un “divisor común”).

El conjunto de los divisores de N está filtrado superior e inferiormente,
y además, para cada par de elementos existe un supremo, que es el
mayorante mínimo (el mínimo común múltiplo), que representaremos

como ab y un ínfimo (el máximo común divisor), representado como

ab. Por estas dos propiedades recibe el nombre de retículo. Sería
semirretículo si sólo cumpliera una. Investiga en un tratado de
(conmutativa,
Álgebra
asociativa, absorbente,
la

las propiedades de estas operaciones

idempotente…). Si sólo se garantiza

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existencia de un supremo, el
sup_semirretículo, y sub_semirretículo en el caso del ínfimo.

retículo se convertiría en un

Un retículo puede ser acotado si existe un máximo E que es

mayorante de todos los demás elementos, y un mínimo  que es
minorante de todos ellos. Es claro que en nuestro ejemplo N es el

máximo E y 1 es el mínimo . Se cumple que Nb=b y que 1b=b. A

los elementos que sólo tienen como minorante  (y distintos de él) les
llamaremos átomos, y en nuestro caso son los factores primos de N.
Por el contrario, si su único mayorante es E, reciben el nombre de
coátomos.

Estos dos elementos E y  nos valen para la siguiente definición: un
retículo acotado es complementado si para todo elemento a existe

otro a’, su complemento, tal que aa’=E y aa’=. Aunque no nos
extenderemos en esta dirección, el complemento no tiene que ser
único.

Puedes investigar cuándo un retículo se convierte en un álgebra de
Boole. No trataremos esto.

Aquí hay que pararse:

El retículo de los divisores de N es complementado si y sólo si N
es libre de cuadrados.

En efecto: Si N es libre de cuadrados, todos sus factores primos
estarán elevados a la unidad, por lo que cada divisor a se caracterizará
tan sólo por su colección de factores primos, y bastará tomar para a’ el
número formado por el producto de los primos que no son divisores de
a, que cumplirá trivialmente lo exigido. Por ejemplo, entre los divisores
de 210 (libre de cuadrados porque 210=2*3*5*7), el complemento de
35 es 14.

Por el contrario, si no es libre de cuadrados, un divisor p se presenta
elevado a una potencia con exponente r mayor que 1. Busquemos el
complemento q de p (sin elevar a r). En primer lugar deberá cumplir

que pq= o expresado mejor en este caso, p y q han de ser
coprimos. Entonces q sólo podrá contener factores primos distintos de

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p. Pero al calcular pq el resultado no podrá coincidir con N, ya que el
MCM(p, q) contendrá a p elevado a la unidad, mientras que N lo
contiene elevado a r>1. Así que ningún candidato a complemento
cumple las dos propiedades. Hemos encontrado un contraejemplo que
invalida la propiedad.

Este carácter de retículo se suele expresar mediante un diagrama de
Hasse, en el que cada dos elementos relacionados se unen mediante
una línea, no teniendo en cuenta la propiedad reflexiva y aprovechando
la transitiva para eliminar líneas. Aquí tienes el correspondiente a 150:



Se comprende que hay otras formas de ordenarlo y dibujarlo. Es un
buen ejercicio identificar el carácter de un número según su diagrama
de divisores (potencia de un primo, semiprimo, libre de cuadrados…)

Presentada esquemáticamente la teoría, nos dedicaremos a descubrir
algunos retículos y semirretículos que se dan en el conjunto de
divisores de N. Todo él completo hemos visto que es un retículo.

El retículo de los libres de cuadrados

Lo presentaremos con un ejemplo. Imaginemos todos los divisores de
1800 que son libres de cuadrados, es decir, que sus factores primos
están todos elevados a la unidad. Es claro que cualquier divisor de
ellos lo será también del radical de de 1800, que es 30 (contiene los
mismos factores primos, pero elevados a la unidad). Por tanto, esto
nos remite al caso general: es retículo el conjunto de divisores de un
número libre de cuadrados.

En el caso de 1800 son estos: {30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1} Todos
presentan los primos 2, 3 o 5 elevados a la unidad. El mayor, 30, es el
radical de 1800. Como es libre de cuadrados, por la propiedad anterior,
sus divisores formarán un retículo.

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explica
La imagen te lo
perfectamente.
Cada par de
elementos tiene un supremo y un ínfimo. Todo el conjunto posee un

máximo, que es el I=30 y un mínimo, =1.