PDF de programación - Miscelánea

Miscelánea



Edición 2016

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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P R E S E N T A C I Ó N



Como es de suponer, en este documento se presentan cuestiones
aisladas inclasificables en otros. No por ello son menos interesantes, e
incluso puedes figurar aquí por estudiar varios temas distintos. Sí serán
difíficiles de dividir en secciones, por lo que las que se ofrecen sólo son
aproximadas.



En sucesivas ediciones podrá sufrir muchos cambios la estructura
general del documento. La incorporación de nuevos temas, por su
propia naturaleza algo inclasificable, no seguirá ningún planteamiento
previo.



Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena.



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T A B L A D E C O N T E N I D O



Presentación ..................................................................................................2

Curiosidades .................................................................................................5

Los puntos del dominó ................................................................................5

Fechas cruzadas ........................................................................................6

Una curiosidad sin importancia ..................................................................7

Sumas y descomposiciones ..................................................................... 13

Las sumas de impares ............................................................................. 13

Descomposición de un número según una lista ...................................... 19

Las sumas de cubos nos llevan a Pitágoras y Pell ................................. 29

Resoluciones .............................................................................................. 40

Dos demostraciones propuestas por ....................................................... 40

T. M. Apostol ............................................................................................ 40

Resolución con dos teclas ....................................................................... 40

Resolución heterodoxa ............................................................................ 42

Sumas con simetría ................................................................................. 43

No hay que dejarse llevar por la admiración ........................................... 44

Damos vueltas al juego del 2048 ............................................................ 46

FECHAS Y AÑOS ........................................................................................ 54

Formas curiosas de expresar el año 2009 .............................................. 54

Propiedades del número 2010 ................................................................ 55

Propiedades del número 2011 ................................................................ 57

Mi pequeño homenaje al 11/11/11 ......................................................... 59

Bienvenida al 2015 .................................................................................. 60

Soluciones .................................................................................................. 67

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Curiosidades ............................................................................................ 67

Resoluciones ........................................................................................... 69

Fechas y años ......................................................................................... 71



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C U R I O S I D A D E S



L O S P U NT O S D E L D O MI N Ó



He aquí una afirmación de Lucas en uno de sus libros:

“El número total de puntos de un juego completo de dominós jamás es
igual al cuadrado de un número entero”

Le damos vueltas:

(a) ¿Qué es un dominó de número máximo n? (Lo nombraremos
como n-dominó)

Intentar una definición formal, sin olvidar los “blancos”.

(b) Nuestro dominó usual se corresponde con n=6 (Un 6-dominó). Se
compone de 28 fichas, con una media de 6 puntos por ficha y un
número total de puntos de 168 (demostrarlo)

(c) ¿Cuántas fichas y puntos presenta un n-dominó?

El número de fichas viene dado por la expresión n(n+1)/2 y el de
puntos por n(n+1)(n+2)/2 (demostrarlo)

(d) ¿Es cierta la afirmación de Lucas?

Intenta demostrarla considerando cómo se reparten los factores primos
del cuadrado perfecto entre los factores n(n+1)(n+2)/2

(e) Esta fórmula es parecida a la de los números triangulares n(n+1)/2,
y sin embargo estos sí pueden ser cuadrados, como por ejemplo el 36
o el 1225, que son triangulares y cuadrados a la vez ¿Cuál es la
diferencia?

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(f) ¿Valdría
consecutivos? ¿Nunca pueden ser un cuadrado perfecto?

la afirmación para el producto de

tres números

Para quienes no se atrevan con las demostraciones, una salida es
comprobar las afirmaciones con una hoja de cálculo, cambiando el
valor de n

¿Podríamos conjeturarlos con una hoja de cálculo? ¿Cómo?

(g) La fórmula para la suma de primeros cuadrados n(n+1)(2n+1)/6 es
parecida a las anteriores, pero sin embargo puede ser igual a un
cuadrado perfecto. Un caso trivial es el 1. ¿Cuál es el siguiente?



F E C H A S C R U Z A D A S



Propuesta para nivel de Secundaria



Elige una hoja de calendario, y destaca en ella un rectángulo
cualquiera (ver imagen). Multiplica los números situados uno arriba a la
izquierda (lo nombraremos como F11) y el otro abajo a la derecha
(F22, al final de la línea roja de la imagen, números 7 y 29). Multiplica
también los situados en los vértices restantes (F12=8 y F21=28 en el
ejemplo). Resta los productos y descubrirás que

El producto de los números de la diagonal roja F11*F22 es siempre
menor que
independientemente del

la verde, F21*F12,

los de

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1234-7-7-7567891011-7-7-7-7-7-712131415161718-7-7-7-7-7-719202122232425-7-7-7-7-7262728293031

rectángulo que hayas elegido, y su diferencia (negativa) es siempre un
múltiplo de 7


(a) ¿Ocurre esto siempre así? Para demostrarlo puedes llamar X al
número más pequeño (7 en el ejemplo) y a partir de él, le das como
nombre una expresión que contenga X también a los otros cuatro.
Desarrolla los productos y te darás cuenta de que el resultado es
siempre negativo.


(b) Simultáneamente verás que es múltiplo de 7. Cambia el salto entre

semanas y entre días, y siempre obtendrás ese resultado.

(c)
Observa que en la imagen, a la derecha de la hoja de
calendario, figuran resultados que son todos -7. Haz tú algo similar.
Elige rectángulos, escribe la diferencia de productos que estamos
estudiando en varias celdas, con datos distintos, y obtendrás siempre
un número negativo y múltiplo de 7.

(d)
productos? Esto es mucho más fácil…

(e)
¿Y si usamos la diferencia entre sus sumas de cuadrados
(F112+F222)-(F122+F212)? Pues resulta que ahora todas las diferencias
son positivas, y siguen siendo múltiplos de 7. Intenta comprobarlo con
la Hoja de Cálculo y después demostrarlo mediante el álgebra. Llama
X a la fecha más pequeña.

(f)
cinco días ¿Cómo cambiaría todo?

(g)
sumas de cuadrados. Investiga por si ves algo interesante.



Prueba otros cálculos en diagonal además de productos y

¿Qué ocurriría si usáramos sumas de diagonales en lugar de

Inventa una hoja de calendario en la que las semanas fueran de

U N A C U R I O S I D A D S I N I M P O RT A N C IA


El día 11-2-16, publiqué en Twitter, según acostumbro, y como una
curiosidad, el siguiente desarrollo para esa fecha, escrita como 11216:

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Una vez publicado me di cuenta de que cualquier número entero se puede
expresar de forma parecida, eligiendo bien el factorial y el exponente racional
de e. Es una mera curiosidad, sin valor teórico, pero que nos permitirá repasar
algunas técnicas matemáticas.

Buscamos, pues, una expresión del tipo