PDF de programación - Matrices de simétricas de banda

Matrices de sim´etricas de banda

Estos apuntes est´an escritos por Eduardo Camps Moreno, ???, ???, con ayuda de Egor

Maximenko.

´Indice

1. Generaci´on de una matriz sim´etrica de banda en la forma completa

2. Multiplicaci´on de una matriz sim´etrica de banda por un vector

2

3

Una matriz cuadrada sim´etrica A se llama matriz de banda de ancho 2w − 1, si para
cualesquiera j, k ∈ {1, . . . , n}, si |j − k| ≥ w, entonces Aj,k = 0. Por ejemplo, si n = 7 y
w = 3, entonces la matriz es de la siguiente forma:

0
0

0 0
0
A1,1 A2,1 A3,1
0 0
A2,1 A2,2 A2,3 A?,?
A3,1 A3,2 A3,3 A?,? A?,? 0 0
? ?
? ?
? ?
? ?


 .
 B1,1 B1,2 B1,3 B1,4 B1,5 B1,6 B1,7

B2,1 B2,2 B2,3 B2,4 B2,5 B2,6
B3,1 B3,2 B3,3 B3,4 B3,5

?
?
?
?

?
?
?
?

?
?
?
?

?
?
?
?

?
?
?
?

0
0

0



0

0
0
0

B1,1 B2,1 B3,1
B2,1 B1,2 B2,2 B3,2
B3,1 B2,2 B1,3 B2,3 B3,3

0
0

0

0
0 B3,2 B2,3 B1,4 B2,4 B3,4 0
?
?
?
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?
?
?
?

?
?
?
?

?
?
?
?

?
?
?
?

1

 .

(1)

Vamos a guardar las entradas diagonales en un arreglo de tama˜no w × n. Por ejemplo, a
la matriz

le corresponde la matriz completa

B =

A =



1. Generaci´on de una matriz sim´etrica de banda en

la forma completa

Primero vamos a hacerlo trabajando por entradas. Este algoritmo no es eficiente en el
lenguaje de MATLAB, pero se traduce f´acilmente a lenguajes de tipo C, Fortran, Java,
etc., que no tienen operaciones para trabajar con renglones y columnas.

Algoritmo 1 (generaci´on de una matriz sim´etrica de banda en la forma completa, traba-
jando por entradas). Dada una matriz B ∈ Mw×n(R), la la siguiente funci´on construye
la matriz A, como en la f´ormula (1).

function A = SymmetricBandToComplete(B),

[w, n] = size(B);
A = zeros(n);
for j = 1 : n,

for k = 1 : n,

result(j, k) = ???;

endfor

endfor

endfunction

Prueba 1. Por ejemplo, si

B =

entonces

5



A =

(cid:20) 4 −7 6 5

1 3 0 −2

2 −1
4

? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

(cid:21)

,

 .

Luego hay que escribir una versi´on m´as eficiente de este algoritmo, usando posibilida-

des del lenguaje de MATLAB.

2

2. Multiplicaci´on de una matriz sim´etrica de banda

por un vector

Algoritmo 2. multiplicaci´on de una matriz sim´etrica de banda por un vector Dada una
matriz B ∈ Mw×n(R) y un vector x ∈ Rn, la siguiente funci´on calcula el producto Ax,
donde A es la matriz completa corresponde a la matriz B. La matriz A no se construye
en la forma completa.

function y = MulSymmBandByVector(B, x),

[w, n] = size(B);
y = zeros(n);
for j = 1 : w,

for k = 1 : n,

???

endfor

endfor

endfunction

3