PDF de programación - Aprenda matemáticas y estadística con el lenguaje APL

Aprenda matemáticas y estadística con el

lenguaje APL





Manuel Alfonseca















(C) Manuel Alfonseca, 1986. Todos los derechos reservados



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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

1. Teoría de conjuntos

2. Teoría de números

3. Combinatoria

4. Polinomios

5. Vectores, matrices y sistemas de ecuaciones

6. Números complejos

7. Derivadas

8. Estadística

9. Geometría

CONCLUSIÓN



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INTRODUCCION

En el número 12 de esta colección (APL, lenguaje para programadores diferentes, por Juan Ruiz

de Torres) se ha descrito con detalle la estructura del lenguaje APL, pero sin entrar en sus posibles

aplicaciones, que son infinitas, puesto que se trata de un lenguaje de uso general. Por otra parte, en el

número 10 de la colección (Practique Matemáticas y Estadística con el ordenador, por Jesús Salcedo) se

han descrito diversos programas que resuelven problemas en estas dos ciencias, utilizando para ello el

lenguaje BASIC.

Ocurre que BASIC es un lenguaje poco potente, con una sintaxis muy pobre, que se mantiene en

primera línea por razones principalmente históricas, pues era precisamente su pobreza lo que hacía

posible construir intérpretes muy pequeños que cabían en la reducida capacidad de memoria de los

microordenadores primitivos. Sin embargo, las memorias de ordenador son cada vez más baratas (ya se

pueden obtener decenas de miles de posiciones por menos de diez mil pesetas) y la restricción anterior ha

dejado de tener sentido. Por lo tanto, es de esperar que el lenguaje BASIC vaya perdiendo terreno

progresivamente en favor de lenguajes más completos y estructurados (como PASCAL), o más potentes y

adaptados a las técnicas de programación de la quinta generación de ordenadores, como APL o algún otro

lenguaje aún más moderno que todavía no ha alcanzado la forma definitiva.

Por esta razón, y para mostrar la potencia del lenguaje APL en comparación con la de BASIC,

voy a dedicar este libro a explicar cómo se programarían en aquel lenguaje diversas aplicaciones

relacionadas con las Matemáticas y la Estadística y cómo podría utilizarse para la enseñanza de estas dos

ciencias, cosa que ya se viene haciendo desde hace años en diversos países, como el autor de este libro

pudo observar en una escuela de bachillerato de Sendai (Japón) en 1984.





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1. TEORIA DE CONJUNTOS

Desde hace menos de veinte años, la teoría de conjuntos ha invadido la enseñanza básica

española. Por alguna razón, que no puedo comprender, los responsables de la planificación educativa

llegaron a la conclusión, al comienzo de la década de los setenta, de que era necesario explicar todas las

Matemáticas basándose únicamente en la teoría de conjuntos y abandonando por completo explicaciones

más sencillas y más clásicas, basadas en los conceptos elementales de otras ramas de la misma ciencia,

como la teoría de números o la combinatoria. El resultado ha sido una complicación de la enseñanza de

las Matemáticas que resulta, para un conocedor del tema, totalmente innecesaria y terriblemente

perniciosa.

Lo más triste de todo es que la teoría de conjuntos es muy sencilla para una mentalidad ya

formada. Un estudiante de los primeros cursos de la universidad o de los últimos del bachillerato podría

comprenderla por completo en un par de días de clase. Es la obsesión por enseñársela a los niños de cinco

años, que aun no están preparados para ella, lo que ha convertido a las Matemáticas en una de las dos

bestias negras de la enseñanza elemental española (la otra es la Lengua Española, explicada desde la más

tierna infancia con la nomenclatura de la Lingüística Generativa, ciencia especializada que se desarrolló

durante los años cincuenta y que también debería reservarse para el nivel universitario).

La palabra conjunto es indefinible, pues cualquier definición que se intentara construir se vería

obligada a recurrir a la propia palabra conjunto o a uno de sus muchos sinónimos (colección, pluralidad,

reunión, etc), por lo que no sería una definición válida. Ya se sabe que en las buenas definiciones no debe

aparecer el nombre de lo definido ni tampoco ninguno de sus sinónimos. Sin embargo, no es necesario dar

una definición de conjunto, pues todos tenemos un conocimiento implícito de lo que significa.

Si no nos importa el orden, una serie de números es un conjunto. En el lenguaje APL, los

conjuntos finitos de números pueden definirse por simple enumeración de sus elementos. Veamos un

ejemplo:





NOTA: Recuérdese que estamos en el teclado de un ordenador, y que debemos presionar la tecla

ENTER al final de cada línea.

La expresión anterior define el conjunto de los números del uno al nueve. Como el orden no

importa, este mismo conjunto podría haberse definido de !9=362880 maneras diferentes, todas ellas

equivalentes entre sí. El símbolo ! representa la operación "factorial" y !9 es el número de permutaciones

posibles de nueve términos. Volveremos sobre esto más adelante. Entre tanto, veamos algunas

definiciones equivalentes de N, en APL:







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En las dos primeras definiciones alternativas, hemos dado los mismos valores en un orden

diferente. En la tercera, hemos utilizado la operación APL representada por la letra griega "iota", que

aplicada a un número entero positivo genera todos los números comprendidos entre la unidad y dicho

entero. Por lo tanto, esta última definición es totalmente equivalente, incluso en el orden, a la que asigna a

N los valores 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

En cambio, la expresión siguiente define un conjunto totalmente diferente, al que por lo tanto

asignaremos un nombre distinto. Por ejemplo, M.





Los elementos de un conjunto pueden no ser números. En la vida real podemos encontrarnos

conjuntos de manzanas, o de automóviles. En un ordenador, sin embargo, el campo queda un poco

restringido. Además de números, tan sólo podemos tener letras o, en general, cualquier tipo de caracteres.

Como en el caso siguiente, que define el conjunto de todas las letras mayúsculas:





Obsérvense tres cosas en este conjunto: primero, que aunque hemos dado las letras en un orden

determinado (el alfabético) el mismo conjunto podría haberse definido dando las mismas letras en

cualquier otro orden. Segundo, que el nombre de un conjunto puede tener más de una letra. En este caso

tiene seis. Tercero, que al revés de los conjuntos de números, cuyos elementos se enumeran separados por

espacios en blanco, los caracteres se enumeran juntos, unos detrás de otros, y encerrados entre comillas.

Veamos más ejemplos de conjuntos de caracteres:





El conjunto C contendrá las letras a y b en sus formas latina mayúscula y minúscula y en su

forma griega (alfa y beta). En cuanto al conjunto CIFRAS, es muy peculiar. Sus elementos son los

caracteres que representan las cifras del uno al nueve. Pero este conjunto no es igual, ni mucho menos,

que el conjunto N, que contenía los nueve números representados por dichas cifras. En un caso tenemos

números, en el otro, caracteres.

¡Bien! Ya sabemos definir conjuntos. Ahora tenemos que hacer algo con ellos. Para esto vamos a

definir una serie de operaciones que afectan a un solo conjunto, a un conjunto y un elemento, o a dos

conjuntos.



Elementos de un conjunto

Supongamos que hemos definido algunos conjuntos, como los del apartado anterior. Nos puede

interesar, más adelante, saber cuáles son sus elementos, tal vez porque lo hemos olvidado. Para ello, en

APL bastará con nombrar el conjunto y presionar la tecla ENTER. Veamos algunos ejemplos:





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Obsérvese que, en el caso de los conjuntos de números, los elementos aparecen separados por

espacios en blanco, cosa que no ocurre en los conjuntos de caracteres, donde tampoco aparecen las

comillas. Ahora se ve con claridad la diferencia entre los conjuntos N y CIFRAS.



Cardinal de un conjunto

Una de las primeras cuestiones que podemos plantearnos sobre un conjunto es la siguiente:

¿cuántos elementos tiene? Responder a esta pregunta parece muy sencillo: bastará con contarlos. Sin

embargo, si el conjunto tiene quinientos elementos, resultaría un poco pesado y propenso a errores tener

que contarlos uno por uno.

En APL podemos saber muy fácilmente cuántos elementos tiene un conjunto (lo que se llama el

"cardinal" del conjunto). Para ello, basta con aplicarle al nombre del conjunto una operación representada

por la letra griega "rho". Veamos algunos ejemplos:





Podemos observar que el cardinal de un conjunto de números es el número de números que

contiene. En cambio, el cardinal de un conjunto de caracteres es el número de caracteres que aparecen

entre comillas en su definición, incluido el espacio en blanco, si aparece entre las dos comillas. Veamos

un ejemplo:





Un conjunto puede no tener ningún elemento (su cardinal es cero). Se dice entonces que está

vacío. Como una cadena de caracteres (tal como 'ABCD') es un conjunto de los cuatro elementos

comprendidos entre las dos comillas, dos comillas consecutivas ('') representan un conjunto de cero

caracteres, es decir, un conjunto vacío.



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Pertenencia

Una de las operaciones fundamentales que se pueden realizar con los conjuntos es averiguar si

un el