PDF de programación - Conjeturas

Conjeturas



Edición 2016

Colección Hojamat.es

© Antonio Roldán Martínez

http://www.hojamat.es



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P R E SE N T AC I Ó N


Este documento contiene comprobaciones de conjeturas efectuadas con hoja de cálculo. El
objetivo es puramente didáctico, ya que no se usa una herramienta adecuada, además del
hecho de que las conjeturas se intentan demostrar, pero, por su propia naturaleza, nunca se
dan por comprobadas. Así que este planteamiento puede resultar engañoso. Lo que se
pretende en realidad es suministrar imágenes y esquemas de cálculo que ayuden a interpretar
mejor el sentido de cada conjetura.



Estas primeras ediciones contienen poco material, pero conforme se vayan publicando
comprobaciones similares se irá enriqueciendo el documento. En la actual se han añadido dos.

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T AB L A D E C O NT E NI D O


Presentación ................................................................................................. 2

Comprobación de conjeturas ...................................................................... 4

Andrica .................................................................................................................................. 4

Conjetura de Legendre .......................................................................................................... 8

Primo mínimo detrás de un cuadrado ................................................................................. 10

Conjetura de Brocard y otras cuestiones ............................................................................ 13

Goldbach ............................................................................................................................. 17

Conjetura n2+1 ..................................................................................................................... 22

Conjetura de Polignac ......................................................................................................... 26

Primos de Fibonacci ............................................................................................................ 32

Conjetura de Oppermann .................................................................................................... 35



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COMPROBACIÓN DE CONJE TURAS


A N D R I C A


Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica se expresa algebraicamente mejor que con palabras. Si representamos
por pn el número primo que aparece en el lugar n de su lista, la conjetura se expresa como



“La diferencia entre las raíces cuadradas de dos números primos consecutivos es siempre
menor que 1”

Sobre su historia, autor y algunas consideraciones interesantes, en lugar de copiarlas aquí
remitimos a una destacada entrada del blog “Gaussianos” (http://gaussianos.com/la-conjetura-de-
andrica-o-que-distancia-hay-entre-dos-numeros-primos-consecutivos/)

Lo que nos interesa aquí tiene carácter más humilde, y es la comprobación de esta conjetura
con una hoja de cálculo y nivel medio de dificultad. Para ello necesitas dos funciones:
ESPRIMO, que te devuelve si un número es primo o no y PRIMPROX, que encuentra el menor
número primo que es mayor que uno dado (sea primo o no). Para evitarte tratar con
definiciones de funciones y con el BASIC de las hojas, hemos creado la herramienta
conjeturas.xlsm, que se encuentra en la dirección

(ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas).

La primera hoja contiene el espacio de trabajo, la segunda el catálogo de funciones
implementadas y la tercera los enunciados de las conjeturas. Este archivo se podrá ir
actualizando sin previo aviso conforme se vayan tratando conjeturas nuevas.

Supondremos, pues, que tienes abierta la hoja conjeturas.xlsm. Puedes comenzar una tabla en
la que figuren en la primera columna todos los números primos (verás cómo) y en la segunda
los siguientes primos de cada uno de ellos. Después, en una tercera escribimos la diferencia de
las raíces cuadradas de ambos.

Construcción de la tabla

Comienza, por ejemplo, escribiendo un 2 en la celda B2. Usa la función PRIMPROX para escribir
el siguiente primo en C4: =PRIMPROX(B4). Evidentemente obtendrás un 3.

En la celda D4 escribe la diferencia de raíces cuadradas =RAIZ(C4)-RAIZ(B4)



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Para que puedas extender la tabla hacia abajo, en la celda B5 copia el contenido de la C4, pero
como fórmula, =C4. No uses Copiar y Pegar. Obtendrás un 3, como era de esperar.



Con el controlador de relleno copia hacia abajo las celdas C4 y D4



Lo que te queda por hacer es muy sencillo: de nuevo con el
control de relleno copia las tres nuevas celdas de la fila 5 hacia
abajo hasta el número de filas que desees:

Hemos marcado en negrita la máxima diferencia, y como era de
esperar, todas son menores que la unidad.

Aunque ya están publicados, te puedes dar la satisfacción de crear
tu propio gráfico, añadiendo, por ejemplo, otra columna con los

números de orden:

En el gráfico se aprecia la máxima diferencia antes de llegar al 11 y que la tendencia general es
que, con grandes oscilaciones, los valores tienden a cero, lo que da confianza en que la
conjetura sea cierta.



Otra interpretación

Si representamos por Dn la diferencia entre dos primos consecutivos



Si la conjetura es cierta se cumple



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P(n)P(n+1)Diferencia raíces230,317837245350,50401717P(n)P(n+1)Diferencia raíces230,317837245350,50401717570,4096833347110,67087347911130,28892648513170,5175543517190,23579331819230,4369325823290,58933328429310,18259955631370,51499816737410,32036170741430,15431428743470,29821607647530,42445528953590,40103585959610,12910392861670,37510309667710,24079700171730,11785397273790,34419067279830,22223916283890,32354755389970,41487667971010,2010178191011030,099015944

La diferencia entre dos primos consecutivos siempre es menor que la suma de las raíces
cuadradas de ambos.

Es fácil deducir otra expresión más simple:



Puedes crear dos columnas nuevas en tu tabla, una con la suma de raíces y otra con la
diferencia de primos consecutivos. Intenta crear un gráfico similar a este:

Contrasta la “suavidad” de la gráfica de la suma de raíces con la de la diferencia de primos.
Hay que tener en cuenta que en la primera cada primo se suma en dos datos consecutivos, lo
que produce un efecto de promedio, que oculta algo las irregularidades. Lo importante en este
caso es se cumple la desigualdad deducida de la conjetura de Andrica.



Una interesante generalización

Si la conjetura de Andrica es cierta, podemos plantear la ecuación



Tendremos la seguridad de que x estará entre los valores 0,5 y 1. Para cada par de primos
consecutivos x tendrá un valor distinto. El máximo lo alcanza para el par (2,3) en el que x=1 y el
mínimo en pn+1=127 y pn=113 con x=0.567148... Este valor es conocido como la constante de
Smarandache. La tienes en http://oeis.org/A038458

Es muy instructivo el procedimiento que podemos usar para encontrar el valor de x
correspondiente a cada par de números primos consecutivos. Podemos usar para ello la
herramienta de Búsqueda de Objetivos (lo desarrollamos para Excel, pero es muy fácil
trasladarlo a otras hojas)

Tal como se explicó en párrafos anteriores, comienza por crear una tabla de pares de números
primos consecutivos. Si te da pereza, usa lo que sigue para un solo par.

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En la tabla hemos añadido una columna para x en la que iniciamos con el valor 1. Una cuarta
columna la rellenamos con la fórmula p(n+1)^x-p(n)^x. Si la reproduces, comprueba que los
valores que obtienes son los que figuran en la imagen.

Búsqueda del valor de x

Usaremos la Búsqueda de objetivos para resolver la ecuación



Elige un par cualquiera, por ejemplo 29 y 31. Señala la celda que contiene el valor 2 para la
diferencia de potencias, y busca el procedimiento Buscar Objetivo en la fichas Datos y grupo
Análisis Y si…



Ahora, en Definir la celda escribes la que contiene la diferencia 2,
como valor escribes 1, porque ese es tu objetivo, y en Para cambiar la
celda escribes la celda donde está el valor 1 de la x.

Al pulsar aceptar obtendrás la solución, tal como ves en la imagen:

La solución, 0,84555… está entre 0,5 y 1, tal como habíamos conjeturado.

Toma el par 113 y 127 y obtendrás la la constante de Smarandache con cinco decimales
correctos:



El problema está en que has de ver cada par uno a uno, pero para un cálculo conjunto nos
tendríamos que complicar el proceso.



Puedes consultar más generalizaciones en

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P(n)p(n+1)xP(n+1)^x-P(n)^x2311351257127111411131213171417191219231423291629311231371637411441431229310,845556131,0001254081131270,5671496421,000009903

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0707/0707.2584.pdf



C O N J E T U R A D E L E G E ND R E


Esta conjetura afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un
número primo.

Se considera básica e importante, por lo que se incluyó en los Problemas de Landau

(http://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems)

Al igual que en la conjetura de Andrica, sólo necesitamos para estudiarla las funciones
ESPRIMO y PRIMPROX, incluidas en la herramienta que hemos preparado para el estudio de
conjeturas.

(ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas)

Es fácil organizar los cálculos. Diseñamos una columna con los primeros números naturales y
junto a ella la de sus